¿Cómo puedo hallar la energía cinética media y la energía potencial media de un electrón de hidrógeno en el estado básico?

Question

¿Cómo puedo hallar la energía cinética media y la energía potencial media de un electrón de hidrógeno en el estado básico?

En mi clase de física moderna, estamos terminando la ecuación de Schrödinger en 3D, y estoy más que perdido. Hace unos capítulos, aprendimos sobre los operadores, y tengo una ecuación para ambas cosas en 1D . Parece que $$ \left<K\right> = \int \psi K \psi \, \mathrm{d}x,$$ donde $$K =-\frac{h^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}.$$

Así que,

• ¿Cómo puedo hacer que eso funcione para el 3D, y es eso lo que quiero hacer aquí?

Answer 1

Un método es utilizar/probar el teorema del virial para un potencial de la forma $V\left(r\right) \propto {r^p}$ (para el átomo de hidrógeno, $p = -1$ ), $$ \left<T\right>_n = \frac{p}{2} \left<V\right>_n $$ para el $n$ -ésimo estado propio de energía.

Utilice esto, junto con $$ E_n = \left<E\right>_n = \left<T\right>_n + \left<V\right>_n $$ y $$ E_n = \frac{E_1}{n^2}, \ \ \ \ \ E_1 = - \frac{1}{2} \alpha^2 m_e c^2 = - 13.6 \ eV. $$

Answer 2

No quiero estropearte la belleza de la QM 3D, especialmente si quieres explorarla por tu cuenta. Sin embargo, pensé en darte algunos consejos sobre cómo abordar la transición de 1D a 3D.

Considerando la QM 1D primero piensa en lo que significa estar en el eje x. ¿Quién va a decidir qué eje es el x y qué eje es el y o el z? Esto significa que tiene que haber una simetría entre estos ejes, es decir, el operador $K$ no puede ser un operador como $K=\hat{x}+\hat{y}^2$ si hay ese tipo de simetría entre los ejes. Además, el operador 3D $K$ debe reducirse al operador 1D que has dado arriba si consideras que el operador 3D es 1D. Ten en cuenta también que tu ecuación tiene que ser dimensionalmente consistente.

El valor de la expectativa de este operador también es muy sencillo. Sólo hay que ajustar algo en la integral y eso es todo.

Si quieres una explicación más detallada, indícalo en los comentarios y editaré mi respuesta o responderé a tu pregunta en la sección de comentarios en consecuencia.

Answer 3

También se puede utilizar que el desplazamiento del valor propio de la energía debido a una perturbación de primer orden es el valor esperado de la perturbación en el estado no perturbado. Si se multiplica el término de energía cinética por $\lambda$ y el término de energía potencial por $\mu$ En el caso de la energía del estado base, se tiene esencialmente el mismo Hamiltoniano, por lo que se puede escribir la energía del estado base sin mucho esfuerzo. Las derivadas con respecto a $\lambda$ y $\mu$ le dará los dos valores de expectativa deseados.