Confusión sobre el Teorema de Parseval

Question

El Teorema de Parseval dice que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}g(t)f(t)^\ast dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)F(\omega)^\ast d\omega$$

Aunque sé cómo demostrarlo, es difícil imaginar cómo las dos integrales pueden ser iguales. Si definimos $g(t)$ y $f(t)$ como señales de números reales en el dominio del tiempo (así $f(t)$ es también una señal de número real), entonces el lado izquierdo también es de número real. Pero el $G(\omega)$ y $F(\omega)^\ast$ puede ser un número complejo, por lo que la integral del lado derecho también es un número complejo.

Entonces, ¿cómo podría un número real ser igual a un número complejo? Debe haber algo mal en mi entendimiento anterior. ¿Podría alguien ayudarme a señalarlo?

Answer 1

Supongamos que $f(t)$ y $g(t)$ son funciones de valor real. Entonces, tenemos

$$\begin{align} F(\omega)&=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{i\omega t}\,dt\\\\ &=\underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(t) \cos(\omega t)\,dt}_{\text{Even in}\,\omega}+i\underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(t) \sin(\omega t)\,dt}_{\text{Odd in }\,\omega} \end{align}$$

$$\begin{align} G(\omega)&=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{i\omega t}\,dt\\\\ &=\underbrace{\int_{-\infty}^\infty g(t) \cos(\omega t)\,dt}_{\text{Even in}\,\omega}+i\underbrace{\int_{-\infty}^\infty g(t) \sin(\omega t)\,dt}_{\text{Odd in }\,\omega} \end{align}$$

Ahora bien, obsérvese que el producto de $F$ y el complejo conjugado de $G$ viene dada por

$$\begin{align} F(\omega)G^*(\omega)&=\left(\text{Re}(F(\omega))\text{Re}(G(\omega))+\text{Im}(F(\omega))\text{Im}(G(\omega))\right)\\\\ &-i\left(\text{Re}(F(\omega))\text{Im}(G(\omega))-\text{Im}(F(\omega))\text{Re}(G(\omega))\right) \end{align}$$

Por lo tanto, la parte imaginaria de $F(\omega)G^*(\omega)$ es una función impar. Como las integrales convergentes son iguales a sus valores principales de Cauchy, la integral de cualquier función convergente impar sobre límites simétricos desaparece. Y ya hemos terminado.

Answer 2

He aquí una forma de entenderlo utilizando esencialmente un solo hecho: la integral del producto de una función par ( $f(x)=f(-x)$ ) y una función impar ( $f(x)=-f(-x)$ ) es cero:

Si $f$ es par y $g$ es impar, entonces $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x) \, dx = 0. $$

Cualquier función $f$ puede escribirse como la suma de una función par y una función impar: $$ f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}. $$ Llama a la primera fracción $f_e$ , este último $f_o$ .

¿Cómo funciona la transformada de Fourier en la parte par e impar? Podemos dividir $e^{ikx}=\cos{kx}+i\sin{kx}$ y el coseno es par, el seno impar. Por lo tanto, si escribimos $F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} f(x) \, dx$ , $$ F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} (\cos{kx}+i\sin{kx})(f_e(x)+f_o(x)) \, dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty} (\cos{kx}) f_e(x) \, dx +i\int_{-\infty}^{\infty} (\sin{kx}) f_o(x) \, dx, $$ ya que las otras integrales desaparecen. Pero estas dos integrales son pares, por lo que son iguales al doble de la integral sobre $(0,\infty)$ : $$ F(k) = 2\int_{0}^{\infty} (\cos{kx}) f_e(x) \, dx +2i\int_{0}^{\infty} (\sin{kx}) f_o(x) \, dx = F_c(k) + iF_o(k), $$ decir. Pero la uniformidad del coseno significa que $F_c$ es par, y de la misma manera $F_o$ es impar. Además, ambos son obviamente reales. Pero entonces, considerando el lado derecho de Parseval, $$ \int_{-\infty}^{\infty} F(k) G(k)^* \, dk = \int_{-\infty}^{\infty} (F_c(k)+F_s(k)) (G_c(k)-G_s(k)) \, dk = \int_{-\infty}^{\infty} F_c(k) G_c(k) \, dk + \int_{-\infty}^{\infty} F_s(k) G_s(k) \, dk; $$ los otros dos términos desaparecen porque $F_c,G_c$ son pares y $F_s,F_s$ son impar.