Aplicando un operador lineal a un Proceso Gaussiano se obtiene un Proceso Gaussiano: Prueba

Question

En este papel se afirma sin pruebas ni citas que "la diferenciación es una operación lineal, por lo que la derivada de un proceso gaussiano sigue siendo un proceso gaussiano". Intuitivamente, esto parece razonable, ya que la combinación lineal de variables aleatorias gaussianas es también gaussiana, y esto es sólo una extensión al caso en el que en lugar de una variable aleatoria vectorial tenemos una variable aleatoria definida en un espacio de funciones. Pero no puedo encontrar una fuente con una prueba y los detalles de una prueba se me escapan.

Esquema de la prueba Dejemos que $x(t)\sim \mathcal{GP}(m(t),k(t, t^\prime))$ sea un proceso gaussiano con función de media $m(t)$ y la función de covarianza $k(t, t^\prime)$ y $\mathcal{L}$ un operador lineal. Para cualquier vector $T=(t_1,...,t_n)$ , dejemos que $x_T=(x(t_1),...,x(t_n))$ . Entonces $x_T\sim \mathcal{N}(m_T,k_{T,T})$ . Consideremos ahora el proceso estocástico $u(t)=\mathcal{L}x(t)$ . Basta con demostrar que las distribuciones de dimensión finita de $u(t)$ son gaussianos, pero trasladando la acción del operador lineal sobre $x(t)$ al caso de dimensión finita me está dando problemas.

En el caso de la diferenciación, tenemos $u(t)=\mathcal{L}x(t)=\frac{dx}{dt}=\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$ . Para todos los $h>0$ la variable aleatoria $v(t)=\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$ es normal, y al intercambiar la integración y el límite, tenemos

$$ \begin{array}{rcl} m_u(t)&=&E\left(\lim\limits_{h\to 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}\right)\\ &=&\lim\limits_ {h\to 0}E\left( \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\right)\\ &=&\lim\limits_ {h\to 0}\frac{m(t+h)-m(t)}{h}\\ &=&m^\prime(t) \end{array}$$

Por supuesto, hay que verificar cuándo es apropiado este intercambio. Del mismo modo, podemos intuir la función de covarianza de $u(t)$ tiene la forma

$$ k_u(t,t^\prime)=\frac{\partial^2 x}{\partial t\partial t^\prime }k(t,t^\prime) $$

pero me cuesta dar el salto de las aproximaciones finitas al caso de las dimensiones infinitas.

Solicitud de referencia Si hay algún libro de texto o documento que haga algo más que mencionar este hecho de pasada, por favor hágamelo saber.

Answer 1

En el documento Ghosal, Subhashis; Roy, Anindya , Consistencia posterior del proceso gaussiano a priori para la regresión binaria no paramétrica , Ann. Stat. 34, nº 5, 2413-2429 (2006). ZBL1106.62039 ., parte del resultado del Teorema 5 establece que

Para un proceso gaussiano (-) que tiene un proceso diferenciable trayectorias muestrales con derivadas parciales mixtas hasta el orden y los procesos de derivadas sucesivas, $D^w \eta$ (-) también son gaussianos con trayectorias muestrales continuas. Además, los procesos derivados son subgaussianos con respecto a un múltiplo constante de la distancia euclidiana.

Answer 2

¿Ayuda la siguiente publicación?

Sudipto Banerjee, Alan E Gelfand y C. F Sirmans (2003), Tasas de cambio direccional en modelos de procesos espaciales Journal of the American Statistical Association, 98:464, 946-954, DOI: 10.1198/C16214503000000909

La sección 2 establece que para que existan las derivadas direccionales de un proceso, éste debe ser media cuadrática diferenciable :

[El proceso] $Y(s)$ es diferenciable al cuadrado medio en $s_0$ si existe un vector $\nabla_Y(s_0)$ , tal que, para cualquier escalar $h$ y cualquier vector unitario $\mathbf{u}$ , \begin{equation}Y(s_0 + h \mathbf{u}) = Y(s_0) + h\mathbf{u}^T\nabla_Y(s_0) + r(s_0, h\mathbf{u})\end{equation} donde $\frac{r(s_0, h\mathbf{u})}{h} \rightarrow 0$ en el $L_2$ sentido como $h \rightarrow 0$ .