Símbolo de Jacobi: $\sum_{n=1}^{p}\left(\sum_{m=1}^{h}\left(\frac{m+n}{p}\right)\right)^2=h(p-h)$

Question

Demuestra que si $p$ es un primo impar y $h$ es un entero, $1\le h \le p$, entonces

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{p}\left(\sum_{m=1}^{h}\left(\frac{m+n}{p}\right)\right)^2=h(p-h)$$ donde $\left(\frac{m+n}{p}\right)$ denota el símbolo de Jacobi.

Mi solución:

Para $h=1$, tenemos que $\left(\frac{1+n}{p}\right)^2$ siempre es 1 o 0. Es 0 solo cuando $n=p-1$. Así que la suma resulta ser $p-1$, lo cual concuerda con $h(p-h)$. De manera similar, para $h=p$, la suma es cero.

Pero tengo problemas cuando $ h \neq 1 o p$, ¿cómo debo proceder en ese caso?

Esta pregunta ha sido tomada del libro: Introducción a la teoría de números por Niven, Zuckerman, Montgomery. Sección 3.3, pregunta 19. Gracias de antemano.

Answer 1

El cuadrado de la suma interior es $$\sum_{m_1,m_2=1}^h\left(\frac{(m_1+n)(m_2+n)}{p}\right).$$ La suma total es $$\sum_{m_1,m_2=1}^h\sum_{n=1}^p\left(\frac{(m_1+n)(m_2+n)}{p}\right) =\sum_{m_1,m_2=1}^hS(m_1,m_2)$$ decimos. Cuando $m_1=m_2$ entonces $S(m_1,m_2)=p-1$. Cuando $m_1\ne m_2$ entonces $$S(m_1,m_2)=\sum_{n=1}^p\left(\frac{n(n+2m')}p\right)$$ donde $2m'\equiv m_1-m_2\not\equiv0\pmod p$. Podemos eliminar el término $n=p$, y luego dejemos que $n'$ sea el inverso módulo $p$ de $n$ da $$S(m_1,m_2)=\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n(n+2m')}p\right) =\sum_{n'=1}^{p-1}\left(\frac{1+2m'n'}p\right)=-1.$$ Por lo tanto la suma original es $$h(p-1)-(h^2-h)=h(p-1-(h-1))=h(p-h).$$