Estaba leyendo un papel sobre las soluciones a $f(y) = P(m)$ , donde $f(y) \in \mathbb Z[y]$ y $P(m) = n(n + 1) \ldots (n + m - 1)$ es un producto de $m$ enteros consecutivos.
En la primera página, se menciona que no es difícil obtener las soluciones en el caso de que $f(y)$ es irreducible. Sin embargo, me confundieron dos cosas.
- En primer lugar, el autor menciona una condición sobre $f(y)$ lo que implica que la ecuación $f(y) = P(m)$ no tiene solución, pero no menciona cuando existe una solución.
- En segundo lugar, no estoy seguro de cómo generalizar el método utilizado en el ejemplo del artículo. En el ejemplo dado, el número de casos en los que es posible tener una solución es bastante pequeño, por lo que no es difícil comprobar cuáles son las soluciones (si es que las hay).
Creo que esto puede ser un problema cuando $f(y)$ tiene un gran grado. Además, traté de resolver $f(y) = P(m)$ cuando $f(y) = py + 1$ , donde $p$ es un primo impar. Usando la condición dada, encontré que el primo más pequeño $q$ que no divide $f(y)$ para cualquier $y$ es $p$ . Por lo tanto, no hay soluciones cuando $m > p$ . Pero no estoy seguro de cómo empezar a encontrar soluciones generales (o encontrar condiciones para $m$ cuando existen soluciones).
¿Hay algo que esté interpretando mal en el documento? ¿Alguna sugerencia sobre cómo empezar u otras referencias que consultar?
Nota: Esto es una publicación cruzada de math.SE: https://math.stackexchange.com/questions/419918/solutions-to-fy-nn-1-ldots-n-m-1
