Subredes y compacidad en $\{ 0, \dots, 9 \}^{[0,1]}$

Question

Estoy repasando mis conocimientos sobre redes para prepararme para un nuevo trabajo de análisis funcional, y me he encontrado con un área de conocimiento que creía haber entendido, pero que ahora parece un poco escasa.

El conjunto $\{ 0, \dots, 9 \}^{[0,1]}$ es compacto con la topología del producto, ya que es el producto de conjuntos discretos finitos (y por tanto compactos). Por tanto, toda red contiene una subred convergente. Este es el ejemplo clásico en el que falla la compacidad secuencial, ya que si tomamos la secuencia

$$ f_k(x) = \text{The $ k $'th element of the binary expansion of x} $$

Entonces no existe una subsecuencia convergente $f_{i_k}$ porque siempre podemos tomar el número

$$ y = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k + 1}{10^{i_k}} $$

y $f_{i_k}(y)$ alterna entre 0 y 2, por lo que no puede converger.

Ahora la teoría de las redes nos dice que debe existir una subred $\mathfrak{a} = f_{i_\alpha}$ que converge en este conjunto, donde $i$ es un mapa que preserva el orden del conjunto dirigido que forma el dominio de $\mathfrak{a}$ a $\mathbf{N}$ . Si tomamos entonces los elementos $i_1 < i_2 < \dots$ que forman la imagen de $i$ sur $\mathbf{N}$ ¿cómo es la construcción de $y$ ¿fallar aquí? ¿Se puede construir explícitamente una subred convergente para esta secuencia?

Answer 1

Depende de lo que se considere explícito. Para simplificar un poco la explicación, me fijaré sólo en $\{0,1\}^{[0,1]}$ ya que es un subconjunto cerrado de $\{0,1,\ldots,9\}^{[0,1]}$ que contiene todos los posibles puntos de agrupación de su secuencia. También reemplazaré el conjunto de índices por $\wp(\Bbb N)$ , ajuste $X=\{0,1\}^{\wp(\Bbb N)}$ y para $k\in\Bbb N$ y $A\subseteq\Bbb N$ Dejaré que

$$x_A^{(k)}=\begin{cases} 1,&\text{if }k\in A\\ 0,&\text{if }k\notin A\;; \end{cases}$$

este es sólo su ejemplo con un ropaje ligeramente diferente. Para cada $A\subseteq\Bbb N$ dejar $B_A^+=\{x\in X:x_A=1\}$ y $B_A^-=\{x\in X:x_A=0\}$ Entonces

$$\{B_A^+:A\subseteq\Bbb N\}\cup\{B_A^-:A\subseteq\Bbb N\}$$

es una subbase para la topología del producto en $X$ . Para subconjuntos finitos disjuntos $\mathscr{F}^+$ y $\mathscr{F}^-$ de $\wp(\Bbb N)$ dejar

$$B(\mathscr{F}^+,\mathscr{F}^-)=\bigcap_{A\in\mathscr{F}^+}B_A^+\cap\bigcap_{A\in\mathscr{F}^-}B_A^-\;;$$

la familia de todos estos conjuntos es la base canónica de la topología del producto en $X$ .

Dejemos que $\mathscr{U}$ sea un ultrafiltro libre (es decir, no principal) en $\Bbb N$ y que $p\in X$ sea la función indicadora de $\mathscr{U}$ Construiré una subred de la secuencia $\sigma=\langle x^{(k)}:k\in\Bbb N\rangle$ convergiendo a $p$ .

Dejemos que $\mathscr{D}=\{\langle U,n\rangle\in\mathscr{U}\times\Bbb N:n\in U\}$ y para $\langle U,n\rangle,\langle V,m\rangle\in\mathscr{D}$ set $\langle U,n\rangle\preceq\langle V,m\rangle$ si $U\supseteq V$ y $n\le m$ Entonces $\langle\mathscr{D},\preceq\rangle$ es un conjunto dirigido. Sea

$$h:\mathscr{D}\to\Bbb N:\langle U,n\rangle\mapsto n\;;$$

$h$ es un mapa cofinal que preserva el orden, por lo que

$$\nu:\mathscr{D}\to X:\langle U,n\rangle\mapsto x^{(n)}$$

es una subred de $\sigma$ . Sea $B(\mathscr{F}^+,\mathscr{F}^-)$ sea cualquier nbhd abierto básico de $p$ . Entonces $A\in\mathscr{U}$ para cada $A\in\mathscr{F}^+$ y, como $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro, $\Bbb N\setminus A\in\mathscr{U}$ para cada $A\in\mathscr{F}^-$ Así que

$$\bigcap\mathscr{F}^+\setminus\bigcup\mathscr{F}^-=\bigcap\mathscr{F}^+\cap\bigcap_{A\in\mathscr{F}^-}(\Bbb N\setminus A)\in\mathscr{U}\;.$$

Dejemos que $U=\bigcap\mathscr{F}^+\setminus\bigcup\mathscr{F}^-$ y arreglar $n\in U$ . Supongamos que $\langle V,m\rangle\in\mathscr{D}$ y $\langle U,n\rangle\preceq\langle V,m\rangle$ . Entonces $m\in U$ Así que

$$\nu_{\langle V,m\rangle}=x^{(m)}\in B(\mathscr{F}^+,\mathscr{F}^-)\;,$$

y por lo tanto $\nu\to p$ , según se desee.