Prueba $F: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ donde $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ ( $a<x$ ) es suryente

Question

Prueba $F: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ donde $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ ( $a<x$ ) es suryente.

$f$ es continua y está limitada por debajo por $m>0$ . También $a$ pertenece a $\mathbb{R}$ (de verdad).

Answer 1

DE ACUERDO. El $a < x$ La condición es errónea, y hace que el teorema sea falso, como otros han señalado. Así que vamos a deshacernos de ella.

Dejemos que $u \in \mathbb R$ sea no negativo. Sea $x = a + u/m$ . Ahora calcula $F(x)$ : \begin{align} F(x) &= \int_a^x f(t) ~dt \\ &\ge \int_a^x m ~dt \\ &= mx - ma \\ &= m(a + u/m) - ma \\ &= ma + u - ma \\ &= u \end{align}

Por otro lado, $F(a) = 0$ . Así que $F$ en el intervalo $[a, x]$ va de menos de $u$ a más de $u$ ya que $F$ es continua (¿por qué? es diferenciable, por el Teorema Fundamental, por tanto continua.) se aplica el teorema del valor intermedio, y hay un valor $c \in [a, x]$ con $F(c) = u$ . Desde $u$ era un número arbitrario no negativo, $F$ es suryente hacia los reales no negativos.

Un argumento correspondiente, con $x$ de nuevo igualando $a + u/m$ , donde $u/m$ es ahora negativo, se aplica a los valores negativos de $u$ . Así, $F$ es proyectiva sobre los reales.

También resulta ser inyectiva, porque es una función estrictamente creciente.

Answer 2

Supongo que es más fácil manejarlo utilizando derivados. Claramente $F'(x) = f(x) \geq m > 0$ para todos $x$ para que $F(x)$ es estrictamente creciente. Tenemos que demostrar que el rango de $F(x)$ es el conjunto de $\mathbb{R}$ . Desde $F$ es creciente se deduce que o bien $F(x) \to L$ o $F(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ . Si $F(x) \to L$ entonces es obvio (por el teorema del valor medio) que $$F(x) - F(x/2) = (x/2)F'(c) = (x/2)f(c) \geq mx/2$$ Entonces, como $x \to \infty$ obtenemos el LHS como $L - L = 0$ y RHS como $\infty$ . Por lo tanto, se deduce que $F(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ . Del mismo modo, se puede demostrar que $F(x) \to -\infty$ como $x \to -\infty$ . Por continuidad de $F(x)$ y el teorema del valor intermedio se deduce que $F(x)$ toma todos los valores entre $-\infty$ y $\infty$ para que el rango de $F$ es $\mathbb{R}$ y por lo tanto $F(x)$ es suryente.