¿Cuántas cadenas de bits se pueden hacer con seis 0's Y ocho 1's?

Question

Esta fue una pregunta que tuve en un examen la otra noche. Esta pregunta del examen me dejó realmente perplejo, y todavía me cuesta resolverla. Cuando se hace este tipo de problema, normalmente hay una longitud establecida, pero esta pregunta pide cualquier longitud, y dos elementos diferentes. Pensé que podría haber sido un problema de barras y estrellas C(n+r-1, n-1), pero no creo que funcione.

La pregunta también es algo confusa. Se pide cualquier tipo de cadena de bits siempre que se elija entre seis 0 y ocho 1. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo hacer esto?

Edición: Sólo quería aclarar que cuando pregunté al profesor sobre esta pregunta durante el examen, me aclaró que puede ser de cualquier longitud, incluida la cadena nula.

Answer 1

Supongo que hay que utilizar los 14 bits para hacer una cadena.

En ese caso tienes que elegir las 6 posiciones de los 0 de las 14 posibles, lo que te da ${14 \choose 6} = 3003$ opciones.

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Si se permite construir cadenas de tamaño inferior a 14 (lo que significa que no se utilizan todos los bits), se obtendría $\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^8 {n+m \choose n}$ opciones. Y se puede simplificar esta suma utilizando el doble de la identidad del palo de hockey.

$$\sum_{n=0}^6 \sum_{m=0}^8 {n+m \choose n}=\sum_{n=0}^6 {n+9 \choose n+1}=\sum_{n=0}^6 {n+9 \choose 8}=\sum_{n=0}^7 {n+8 \choose 8}-{8 \choose 8}={16 \choose 9}-1=11439$$