Norma inducida por un espacio de Banach y una transformación lineal

Question

Sea E un espacio vectorial normado sobre $\mathbb{K}$ y F un espacio vectorial en $\mathbb{K}$ .
$L : E \rightarrow F$ un operador lineal suryente tal que $L^{-1}(0)$ está cerrado.

1. Demostrar que $$\|y\| = \inf\{\|u\| \mid u \in L^{-1}(y)\}$$ es una norma en F.
2. Si E es Banach entonces F es Banach, con la norma definida en 1.

En la pregunta 1 el único problema que tengo es demostrar que si $\|y\| = 0 \Longrightarrow y = 0$ .

Entiendo que lo que se hace al utilizar el operador lineal es dar una norma al espacio F utilizando la norma en E, pero para tratar de demostrar $y = 0$ en todas las formas que he intentado, siempre se necesita la continuidad de L. Creo que la información del problema en demasiado débil para la continuidad y no estoy seguro, pero creo que si $L^{-1}(y)$ está cerrado para todos los $y$ que podría ayudar. ¿Hay alguna manera de ampliar esa condición que se mantiene para $y = 0$ para todo y en $F$ ?

Sobre la pregunta 2, eligiendo una secuencia de Cauchy en F, intenté demostrar que converge utilizando una secuencia de preimágenes de cada elemento pero, sin embargo, $L^{-1}$ no puede ser una función, así que para elegir la secuencia correcta en E supongo que si $L^{-1}(y)$ es cerrado, podría elegir el elemento en la preimagen tal que su norma es igual al infimun, pero incluso si pudiera hacer eso, no tengo idea de cómo concluir.

Answer 1

1. Supongamos que $\parallel y \parallel =0$ . Entonces hay una secuencia $(u_n)$ de $L^{-1}(y)$ s.t. $\parallel u_n \parallel$ converge a $0 \in \mathbb{R}$ Es decir, que $u_n$ converge a $0_E$ . Pero $L^{-1}(y)$ está cerrado (porque si elige $x$ sur $L^{-1}(y)$ entonces $ L^{-1}(y)=x+L^{-1}(0)$ ). Así que $0_E \in L^{-1}(y)$ y $y=L(0_E)$ .

Answer 2

Para 1., puedes considerar la técnica dada por AlexL.

Para la 2., recomendaría utilizar la siguiente caracterización de los espacios de Banach:

Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial normado. Entonces $X$ es un espacio de Banach si y sólo si para cada secuencia $(x_n)$ sur $X$ , si $\sum_k\|x_k\|$ converge, entonces $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nx_k$ converge en $X$ .