¿Se cumple el Teorema Central del Límite (CLT) multivariante cuando las variables presentan una dependencia contemporánea perfecta?

Question

El título resume mi pregunta, pero para mayor claridad considere el siguiente ejemplo sencillo. Sea $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ , $i = 1, ..., n$ . Definir: \begin {Edición} S_n = \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n X_i \end {ecuación} y \begin {Edición} T_n = \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n (X_i^2 - 1) \end {Ecuación} Mi pregunta: Aunque $S_n$ y $T_n$ son perfectamente dependientes cuando $n = 1$ , hacer $\sqrt{n} S_n$ y $\sqrt{n} T_n$ convergen a una distribución normal conjunta como $n \rightarrow \infty$ ?

La motivación: Mi motivación para la pregunta proviene del hecho de que se siente impar (pero maravilloso) que $S_n$ y $T_n$ son perfectamente dependientes cuando $n = 1$ Sin embargo, la implicación de la CLT multivariante es que se acercan a la independencia como $n \rightarrow \infty$ (esto se deduce ya que $S_n$ y $T_n$ no están correlacionados para todos los $n$ por lo que si son asintóticamente normales conjuntas, entonces también deben ser asintóticamente independientes).

Gracias de antemano por cualquier respuesta o comentario.

P.D.: Si puede aportar referencias, etc., ¡mejor que mejor!

Answer 1

La respuesta corta tal y como entiendo tu pregunta es "sí, pero..." las tasas de convergencia en S, T y cualquier otro momento no son necesariamente las mismas -- comprueba la determinación de los límites con el Teorema de Berry-Esseen .

En caso de que no entienda bien tu q, Sn y Tn se ajustan incluso a la CLT en condiciones de dependencia débil (mezcla): consulta la Wikipedia CLT para procesos dependientes .

CLT es un teorema tan general -- la demostración básica no requiere más que la función característica de Sn y Tn converge a la función característica de la normal estándar, entonces Teorema de continuidad de Levy dice que la convergencia de la función característica implica la convergencia de la distribución.

John Cook ofrece una gran explicación del error CLT aquí .

Answer 2

Esto no probar cualquier cosa, por supuesto, pero siempre encuentro que hacer simulaciones y trazar gráficos es muy útil para dar sentido a los resultados teóricos.

Este es un caso especialmente sencillo. Generamos $n$ Variables normales aleatorias y calcular $S_n$ y $T_n$ ; repite $m$ tiempos. Se han trazado los gráficos para $n = 1, 10, 100$ y $1000$ . Es fácil ver que la dependencia se debilita a medida que $n$ aumenta; en $n = 100$ el gráfico es casi indistinguible de la independencia.

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))