De Intro to Topological Manifolds por Lee:
Como estamos construyendo este mapa, sabemos que existe.
Sin embargo, me cuesta elaborar mostrando que el mapa está bien definido y es único.
¿Cómo se puede explicar mejor este argumento?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tome $y \in Y$ entonces queremos definir $\tilde{f}$ tal que $\tilde{f} \circ q = f$ , por lo que la única forma en que podemos definir $\tilde{f}(y)$ es tomar algunas $x$ con $q(x) = y$ ( $q$ debe ser sobreyectiva, por lo que tal $x$ existen) y definir $\tilde{f}(y) = f(x)$ . Para ello $x$ entonces tenemos automáticamente $$(\tilde{f} \circ q)(x) = \tilde{f}(q(x)) = \tilde{f}(y) = f(x)$$ Este mapa $\tilde{f}$ está bien definida porque cualquier $x$ o $x'$ elegimos con $q(x) = y$ o $q(x') = y$ Siempre tenemos $x \in q^{-1}[\{y\}]$ y $x' \in q^{-1}[\{y\}]$ Así que $x, x'$ están ambos en el $q$ -fibra de $y$ .
Y la condición de constancia en $q$ -fibras significa que $f$ asumió sólo un valor en esta fibra $q^{-1}[\{y\}]$ o, como se indica en el teorema:
$$\forall x,x' \in X: q(x) = q(x') \to f(x) = f(x')$$
que establece exactamente la condición de que podemos elegir cualquier punto de $x \in X$ para definir $\tilde{f}(y)$ siempre y cuando $q(x) = y$ . Esto cubre la buena definición.
La unicidad ya estaba clara más arriba: la condición de que $\tilde{f} \circ q = f$ no nos deja otra opción: supongamos que $f': Y \to Z$ fuera otra función que cumpliera esa condición, entonces $f'(y) = f'(q(x))$ para algunos $x \in X$ por surjetividad, por lo que debe ser igual a $f(x)$ por la condición de conmutatividad, al igual que $\tilde{f}(y)$ por eso $x$ . Así que el mapa es claramente único.
