Momento de inercia del disco con un agujero

Question

Supongamos que tenemos un disco con un agujero, al calcular el momento de inercia de éste alrededor del centro del disco. ¿Por qué restamos el momento de inercia de la parte extraída del momento de inercia del disco completo?

Answer 1

Porque el momento de inercia para una masa puntual es:

$$ I = mr^2 $$

Cuando se calcula el momento de inercia de cuerpos continuos se utiliza el cálculo para construirlos a partir de elementos de masa infinitesimales, así que efectivamente para calcular el momento de inercia del disco (sin agujero) que estamos haciendo:

$$ I_{disk} = \sum_i^{disk} m_ir^2 $$

para el conjunto de masas infinitesimales $m_i$ que componen el disco. Cuando se crea un agujero, simplemente se restan todas las masas puntuales del agujero para eliminarlas de la suma:

$$ I_{net} = \sum_i^{disk} m_ir^2 - \sum_j^{hole} m_j r^2 $$

donde la segunda suma es sobre todas las masas infinitesimales en la broca que estás quitando para hacer el agujero. Así que terminas con:

$$ I_{net} = I_{disk} - I_{hole} $$

PS como señala Stefan en su comentario, el $I_{hole}$ es el momento de inercia en torno al eje del disco no alrededor del eje que pasa por el centro del agujero.