¿Qué significa que una serie esté centrada en un número? Estoy cursando análisis complejo y de repente estoy muy confundido. No tenía esta explicación, o prueba de taylor y series de potencia en el cálculo, y estoy pensando aquí, que surgió del análisis complejo y no real. Pero, estoy mirando a través del libro, tratando de conseguir
Respuesta
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Una serie de potencias es por definición algo de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - a)^n$ para alguna secuencia de números $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ y algún número $a$ . Se dice que está "centrado en" $a$ .
Puedes considerarlo como algo puramente formal (es decir, sólo una palabra que va con los datos que definen una serie de potencias).
También puedes motivar la terminología de la siguiente manera: si quieres pensar en la serie recién escrita como una función de la variable compleja $z$ es necesario conocer el dominio de la función: el conjunto de $z$ para el que la serie converge. Y resulta que, independientemente de la secuencia $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ es, el conjunto de números complejos $z$ para la que la serie $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - a)^n$ converge es un disco centrado en $a$ . Así, las series de potencia "centradas en $a$ ".
(Para que esto tenga un sentido absoluto y no sea sólo una frase sugestiva, hay que permitir que el punto único $\{a\}$ y todos los $\mathbb{C}$ como "discos", y permitir la basura en el límite - es decir, no sólo "disco cerrado" o "disco abierto", sino "disco abierto, más quizás algo de basura en el límite"--- en su definición de "disco". Espero que esto haya servido de ayuda).
