¿Por qué la prueba de la existencia de la métrica de Riemann no se aplica a la pseudo métrica de Riemann?

Question

Acabo de buscar la prueba en Wikipedia Existencia de la métrica de Riemann en una variedad suave pero no veo por qué esta prueba falló para la métrica pseudo-riemanniana, ¿podría alguien señalar por qué esto no es aplicable para la métrica pseudo-riemanniana?

Answer 1

Falla incluso a nivel puntual: en el caso riemanniano, $$\tag{1} \sum_\beta \tau_\beta g_\beta$$ es siempre positiva definida ya que $g_\beta >0$ , $\tau _\beta \ge 0$ y $\tau_{\beta_0} >0$ para algunos $\beta_0$ . Pero si cada $g_\beta$ es sólo no degenerado, entonces (1) podría dar un tensor simétrico degenerado de dos.

Pregunta relacionada con la existencia de la métrica riemanniana de Puesdo: aquí

Answer 2

Sólo un ejemplo: una suma de dos métricas de firma $(1,1)$ puede ser la métrica cero: $$\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)$$