Ampliación de la interpolación de splines cúbicos en n variables de entrada. ¿Es posible?

Question

Tengo la ecuación para la interpolación spline cúbica, y puedo ver cómo funciona para un conjunto de datos en las coordenadas cartesianas 2d. Me preguntaba si hay una forma general de la ecuación que permite la interpolación para n variables de entrada. Por ejemplo, donde cada "punto" de datos incluye (x1, x2, x3,...,xn, y).

Para un caso 2d, donde hay una entrada y una salida, es decir, un punto regular (x, y) en el sistema de coordenadas cartesianas, los splines cúbicos crean una línea. ¿Sería ese el caso para un problema 3d (x1, x2, y)? ¿En el que en lugar de una línea se crearía una superficie de algún tipo, dados suficientes puntos? ¿Y en el caso más general, en el que hay n dimensiones?

Cualquier ayuda que me indique palabras clave para buscar o ecuaciones generales sería muy útil.

Ni siquiera estoy seguro de que este tipo de razonamiento sea correcto. ¡Pero cualquier corrección del curso es muy apreciada!

Answer 1

Los splines más simples son mapeos $t \mapsto c(t)$ de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Así, se introduce un número $t$ y te devuelven otro número $c(t)$ .

La primera forma de generalizar es utilizar dos de estas funciones, por ejemplo $t \mapsto x(t)$ et $t \mapsto y(t)$ . Entonces, dado un número $t$ , usted entiende el punto $\big(x(t),y(t)\big) \in \mathbb{R}^2$ . Por lo tanto, el mapeo $t \mapsto \big(x(t),y(t)\big)$ define una curva paramétrica en $\mathbb{R}^2$ .

La siguiente ampliación es bastante obvia. Si tienes tres funciones spline, $t \mapsto x(t)$ , $t \mapsto y(t)$ y $t \mapsto z(t)$ entonces $t \mapsto \big(x(t),y(t), z(t)\big)$ es una curva paramétrica en $\mathbb{R}^3$ .

Continuando de la misma manera, se pueden obtener curvas spline en cualquier $\mathbb{R}^n$ .

Otra forma de generalizar es hacer más complejo el dominio de la función. Los ejemplos más comunes son las funciones spline que mapean $\mathbb{R}^2$ (o alguna región rectangular de $\mathbb{R}^2$ ) en $\mathbb{R}^3$ . Se trata de superficies paramétricas en 3D. Los parches de Bézier son un ejemplo sencillo.

Yendo un paso más allá, existen funciones spline que mapean $\mathbb{R}^3$ (o alguna región en forma de caja de $\mathbb{R}^3$ ) en $\mathbb{R}^3$ . Estos representan "ladrillos" deformados paramétricos en 3D, que tienen algunos usos, en el análisis de tensiones, por ejemplo.

Por supuesto, se puede seguir generalizando, de forma bastante obvia, pero los casos especiales que he descrito son los que más se utilizan en la práctica (en los campos en los que trabajo, al menos).

Nada de lo que he escrito está íntimamente relacionado con los splines. Podrías sustituir la palabra "spline" por "polinomio", o "función trigonométrica", por ejemplo, y todo lo que he descrito seguiría funcionando.

Answer 2

Splines cúbicas de Bézier por ejemplo, parametrizar una curva que empieza en un punto, termina en otro y tiene vectores iniciales y finales que apuntan hacia los otros dos puntos de control. No hay nada en la parametrización que dependa de la dimensionalidad del espacio del que proceden los puntos. En cualquier espacio, el objeto resultante es una curva.

Si también le interesan las superficies, quizá le interese leer sobre NURBS .