¿Cómo encontrar la función de densidad de probabilidad de una RV normal transformada, X= |Z + 1| para x=1?

Question

Pregunta: Dejemos que $Z$ sea la variable aleatoria normal estándar. Encuentra el valor de la función de densidad de probabilidad $f_{x}(x)$ de $X = |Z + 1|$ para x = 1.

Mi enfoque:
La RV normal estándar es Z~N(0,1) y su pdf es $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

$$F_{x}(X) = P(X \le x) = P(|Z+1|\le x) = P(Z \le \pm x-1) = F_{z}(\pm x-1)$$

Entonces, $$f_{x}(x) = f_{z}(\pm x-1)\frac{d}{dx}(\pm x-1)$$ $$ f_{x}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{(\pm x-1)^2/2}\frac{d}{dx}(\pm x-1) $$

Esta es la parte en la que me atasco. Cuando sustituyo x=1 por ambos $-x-1$ et $x-1$ Las dos veces recibo respuestas incorrectas. Además, me confunde encontrar la inversa de la función absoluta en los pasos iniciales. No creo que deba haber 2 casos (es decir, ambos $-x-1$ et $x-1$ ) pero no estoy seguro de cómo proceder. Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $Z$ es una variable aleatoria continua arbitraria con PDF $f_z$ . Expresemos el PDF de $X_c = |Z - c|$ para cualquier constante $c \in \mathbb{R}$ a través de ella:

Supongamos que $F_{X_c}$ et $F_Z$ CDFs de $X_c$ et $Z$ respectivamente.

Entonces $\forall t > 0$

$$F_{X_c}(t) = P(X_c < t) = P(|Z - c| < t) = P(Z \in [c-t; c+t]) = F_Z(c+t) - F_Z(c-t)$$

Si diferenciamos ambos lados de la igualdad por $t$ nos encontramos con que:

$$f_{X_c}(t) = f_Z(c+t) + f_Z(c-t)$$