¿Cómo calcular la norma de la traza mediante la optimización convexa?

Question

_{Estoy haciendo el curso de optimización convexa de la CMU (aunque no soy estudiante de la CMU), y me he atascado en este problema.}

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Formalmente, demuestre que el cálculo de $\left \| X \right \|_{tr}$ puede expresarse como el siguiente problema de optimización convexo: $$\begin{array}{ll} \underset{{Y \in \mathbb{R}^{m \times n}}}{\text{maximize}} & \mbox{tr} \left( X^T Y \right)\\ \text{subject to} & \begin{pmatrix} I_{m} & Y \\ Y^{T} & I_{n} \end{pmatrix} \succeq 0\end{array}$$ donde $I_{p}$ es el $p \times p$ matriz de identidad.

Cualquier ayuda sería apropiada.

Answer 1

¿Cuáles son los valores propios de $$\begin{pmatrix} I_{m} & Y \\ Y^{T} & I_{n} \end{pmatrix}?$$ Bien, consideremos un vector propio $[p, q].$ Entonces:

$$p + Y q = \lambda p,$$ y

$$Y^{T}p + q = \lambda q.$$

Vemos que $$Y q = (\lambda - 1) p,$$ mientras que $$Y^{T} p = (\lambda - 1) q.$$ Aplicando $Y$ a la segunda ecuación vemos que $$YY^{T} p = (\lambda -1)^2.$$

Por tanto, la matriz de bloques es semidefinida positiva si y sólo si $I\succeq YY^{T},$ que es exactamente la condición en la cuestión señalada por Rodrigo.