¿Puede un número algebraico en el círculo unitario tener un conjugado con un valor absoluto diferente de 1?

Question

Tengo miedo de presentar esto, porque parece que la respuesta debería ser elemental. Ciertamente, el Teorema de Aproximación Débil permite satisfacer cada sistema de desigualdades simultáneas entre los valores absolutos arquimedianos. ¿Pero la igualdad combinada con la desigualdad?

Answer 1

Sí. Tome $ $ \alpha=\sqrt{2-\sqrt{2}}+i\sqrt{\sqrt{2}-1}. $ $ Ninguno de los conjugados $ $ \sqrt{2+\sqrt{2}}\pm \sqrt{\sqrt{2}+1} $ $ tienen valor absoluto 1.

Es imposible, sin embargo, si $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$ es abeliano, ya que entonces todos los automorfismos viajan con conjugación compleja.

Todo esto fue robado del libro de los Campos Ciclotómicos de Washington.

Answer 2

Sí. Por ejemplo, considere las dos raíces complejas de $x^2-(1-\sqrt{2})x+1.$ Son enteros algebraicos de grado 4 en el círculo unitario, pero sus conjugados algebraicos son las raíces de $x^2-(1+\sqrt{2})x+1$, por lo que son números reales irracionales.