Dejemos que $f$ sea una función medible extendida de valor real. Entonces tenemos que demostrar que existe una secuencia de funciones simples de valor real que convergen a $f$ . También tenemos que demostrar que si $f$ está acotado entonces esta convergencia es uniforme.
Ahora para cualquier función medible no negativa podemos tomar $f_n$ para ser $$f_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\textbf{1}_{\left(\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]}(f(x))+n\textbf{1}_{[n,\infty)}(f(x)).$$ Entonces $f_n\rightarrow f$ . Ahora bien, si $f$ es cualquier función medible, definir, $f^{+}=\max(0,f), f^{-}=\max(0,-f)$ Entonces obtendremos una secuencia, $g_n$ de funciones simples crecientes a la función medible no negativa $f^{+}$ y una secuencia, $h_n$ de funciones simples crecientes a la función medible no negativa $f^{-}$ . Entonces $g_n-h_n$ es de nuevo una función simple y la secuencia de funciones $\{g_n-h_n\}$ converge a $f^{+}-f^{-}=f$ .
Sin embargo, no puedo demostrar por qué la acotación de $f$ debería implicar que esta convergencia debería ser uniforme. Aunque tengo una idea, que en cuanto a la construcción de $f_n$ He dividido el intervalo $[0,n)$ aquí debería dividir el intervalo $[0,M]$ en pequeñas partes, donde $M$ es el límite superior de $f$ y luego mostrar que la convergencia es uniforme, pero no pudo demostrarlo. ¿Puede ayudar?