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¿Por qué esta convergencia debe ser uniforme?

Dejemos que $f$ sea una función medible extendida de valor real. Entonces tenemos que demostrar que existe una secuencia de funciones simples de valor real que convergen a $f$ . También tenemos que demostrar que si $f$ está acotado entonces esta convergencia es uniforme.

Ahora para cualquier función medible no negativa podemos tomar $f_n$ para ser $$f_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\textbf{1}_{\left(\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]}(f(x))+n\textbf{1}_{[n,\infty)}(f(x)).$$ Entonces $f_n\rightarrow f$ . Ahora bien, si $f$ es cualquier función medible, definir, $f^{+}=\max(0,f), f^{-}=\max(0,-f)$ Entonces obtendremos una secuencia, $g_n$ de funciones simples crecientes a la función medible no negativa $f^{+}$ y una secuencia, $h_n$ de funciones simples crecientes a la función medible no negativa $f^{-}$ . Entonces $g_n-h_n$ es de nuevo una función simple y la secuencia de funciones $\{g_n-h_n\}$ converge a $f^{+}-f^{-}=f$ .

Sin embargo, no puedo demostrar por qué la acotación de $f$ debería implicar que esta convergencia debería ser uniforme. Aunque tengo una idea, que en cuanto a la construcción de $f_n$ He dividido el intervalo $[0,n)$ aquí debería dividir el intervalo $[0,M]$ en pequeñas partes, donde $M$ es el límite superior de $f$ y luego mostrar que la convergencia es uniforme, pero no pudo demostrarlo. ¿Puede ayudar?

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Davide Giraudo Puntos 95813

La elección de $f_n$ en el puesto inicial debería ser $$f_n(x):=\sum_{j=0}^{n2^n-1}j2^{-n}\chi_{\{j2^{-n}\leqslant f(x)\lt (j+1)2^{—n}\}}+n\chi_{\{f(x)\geqslant n\}}.$$ Si $f\colon X\to \overline{\mathbb R}$ está limitada por $M$ entonces $f_n(x)=\sum_{j=0}^{n2^n-1}j2^{-n}\chi_{\{j2^{-n}\leqslant f(x)\lt (j+1)2^{—n}\}}$ si $n\geqslant M$ . Fijar tal $n$ . Si $x\in X$ , entonces hay $j\in \{0,\dots, n2^n-1\}$ tal que $j2^{-n}\leqslant f(x)\lt (j+1)2^{—n}$ . Por lo tanto, tenemos $|f(x)-f_n(x)|\leqslant 2^{-n}$ . Desde $x$ era arbitraria, obtenemos $\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)-f_n(x)|\leqslant 2^{—n}$ por lo que la convergencia es uniforme.

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