Problema clásico de imagen electrostática carga superficial

Question

En el clásico problema de imagen de la electrostática (una lámina plana conductora infinita y una carga puntual por encima de la lámina), se calcula el potencial y, por tanto, el campo en la región por encima de la lámina conductora. A continuación, el cálculo estándar de la carga superficial aplica la condición de contorno
\begin{equation} \sigma = \epsilon_0 \left( \vec{\mathbf{E}}_{above} - \vec{\mathbf{E}}_{below} \right) \cdot \hat{n} \end{equation} en la hoja conductora, tomando $\vec{\mathbf{E}}_{below}$ para que sea cero .

No veo por qué el campo debe desaparecer en la región por debajo de la lámina; en todo caso, esta región no es el interior de ningún conductor. ¿Alguien puede explicar por qué (rigurosamente)?

Answer 1

No te preocupes, creo que ahora lo entiendo. Simplemente se aplica un teorema de unicidad a la región por debajo de la lámina conductora (que debería haber mencionado en la pregunta, es conectado a tierra ) para concluir que $\vec{\mathbf{E}}_{below} = 0$ .

Answer 2

Mi respuesta

El problema aquí es resolver la ecuación de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet. La solución integral general [1] de la ecuación de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet es \begin{align} V{(\mathbf{x})} &= \int_U G_D{(\mathbf{x} , \mathbf{x}')}\,\rho{(\mathbf{x}')} \, \left|d\mathbf{x}'^3\right| \\ &- \frac{1}{ 4\,\pi }\,\oint_{\partial U} \left[G_D{(\mathbf{x} , \mathbf{x}')} V{(\mathbf{x}')} \, \frac{\partial G_D{(\mathbf{x} ,\mathbf{x}')}}{\partial n'} \right]\, dS'. \end{align}

En el problema que nos ocupa, la región $U$ se define como $$U = \left\{\mathbb{R}^3 \mid z < 0\right\}.$$ Además, el límite $\partial{U}$ viene dada por la unión del plano infinito $z = 0$ y el hemisferio infinitamente grande de abajo $z=0$ .

Según la premisa del problema, $V(\mathbf{x}')=0$ para todos $\mathbf{x}' \in \partial{U}$ . Así, la solución general se reduce a $$ V{(\mathbf{x})} = \int_U G{(\mathbf{x} , \mathbf{x}')}\,\rho{(\mathbf{x}')} \, \left|d\mathbf{x}'^3\right|,~\text{for all}~\mathbf{x} \in U.$$ Además, según la premisa del problema, $\rho(\mathbf{x}') = 0$ para todos $\mathbf{x}' \in U$ . Así, la solución general se reduce a $$V{(\mathbf{x})} =0,~\text{for all}~\mathbf{x} \in U.$$ Por último, dado que $\mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla}V$ Por lo tanto $$\mathbf{E}{(\mathbf{x})} = \mathbf{0},~\text{for all}~\mathbf{x} \in U.$$

Discusión

No estoy de acuerdo con que la respuesta, "Uno simplemente aplica un teorema de unicidad a la región por debajo de la hoja conductora", sea correcta. El teorema de la unicidad [2] no da la solución; lo único que hace el teorema de la unicidad es decir que la solución del campo eléctrico será una solución única. En mi opinión, el teorema de existencia es lo que realmente se requiere para determinar el campo por debajo del conductor.

Bibliografía

[1] John David Jackson, "Electrodinámica clásica".

[2] Colaboradores de Wikipedia. Teorema de unicidad para la ecuación de Poisson [Internet]. Wikipedia, La Enciclopedia Libre; 2021 Jan 7, 00:22 UTC [citado 2021 Jan 9]. Disponible en: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uniqueness_theorem_for_Poisson%27s_equation&oldid=998777694 .