Transformación de Laplace inversa

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación integral-diferencial: $$x'(t) + \int_0 ^{t} (t-s)x(s) ds = t + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{24}t^4$$ Con $x(0) = 1$ Tomando la transformada de Laplace de esto y usando el teorema de convolución obtengo: $$\bar{x}(p) (p^3+1) = p^2 + p + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}$$ Y ahora estoy realmente luchando para invertir esto para encontrar $x(t)$ Así que cualquier ayuda es muy apreciada, Gracias

Answer 1

Sólo sé cómo resolverlo directamente. Tú decides si te es útil o no.

Diferenciando (1) wrt $t$ dos veces y obtenemos:

$$x^{(3)}(t)+x(t)-1-t^2/2=0$$

La solución (mediante Mathematica) viene dada por:

$$x(t)=1+t^2/2+c_1e^{-t}+c_2 e^t \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+c_3 e^t \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$$

$$1=x(0)=1+c_1+c_3$$ Por lo tanto, $c_3=-c_1$ .