¿Cómo funcionan los límites con el suelo/techo?

Question

Me interesa la siguiente ecuación:

$$\frac{n}{\operatorname{floor}(\frac{x}{n})}$$

Trazado con $n = 1..100$ muestra que el gráfico está un poco más aliased como $n$ aumenta y se forma una discontinuidad de $0..n$ . El dominio de lo que puedo decir es $(-\infty, 0) \cup [n, \infty)$ . Quería investigar los límites en cada $n$ pero no estoy del todo seguro de cómo el suelo y el techo son un factor de álgebra.

Por ejemplo $n = 2$ ,

$$f(x) = \frac{2}{\operatorname{floor}(\frac{x}{2})}$$

¿Cómo podría encontrar $\lim_{x\to0} f(x)$ ? ¿Existe el límite teniendo en cuenta la discontinuidad entre $[0, 2)$ ?

Sé que puedes descomponer la función y ayudar a encontrar el límite utilizando las reglas de los límites:

$$\lim_{x\to b} \frac{p}{q} = \frac{\lim_{x\to b}p}{\lim_{x\to b}q}$$

Así que más precisamente estoy buscando $\frac{2}{\lim_{x\to0}\operatorname{floor}(\frac{x}{2})}$ .

Por si sirve de algo, la trama parece:

Puedo suponer $\lim_{x\to0^-} f(x) = -2$ ¿Estoy en lo cierto al suponer $\lim_{x\to0^+} f(x)$ no existe?

Answer 1

Ayuda a establecer cuidadosamente las definiciones. Una definición factible de un límite (de una función real) es algo como lo siguiente:

Definición: Dejemos que $f$ sea una función definida en algún dominio $D\subseteq \mathbb{R}$ y que $a \in \mathbb{R}$ . Supongamos además que hay algún $L\in\mathbb{R}$ tal que para cada $\varepsilon > 0$ existe algún $\delta > 0$ de manera que si $x \in D$ y $0 < |x-a|<\delta$ entonces $$ |f(x) - L| < \varepsilon. $$ $L$ se dice que es el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $a$ , denotado $$ \lim_{x\to a} f(x) = L. $$

Afirmo que $$ \lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor} = -2. $$ Para demostrar esta afirmación, tengo que demostrar que si $\varepsilon$ es cualquier número positivo, entonces puedo encontrar un valor $\delta$ tal que $f(x)$ está dentro de $\varepsilon$ de $-2$ siempre que $x$ está en el dominio de $f$ y dentro de $\delta$ de cero.

Por lo tanto, dejemos que $\varepsilon > 0$ sea arbitraria y tome $\delta = 1$ . Observe que $f$ sólo se define en el conjunto $D = \mathbb{R} \setminus [0,2).$ Si $x \in D$ y $|x| < \delta = 1$ entonces $x \in (-1,0)$ y así $\lfloor x/2 \rfloor = -1$ . Pero entonces $$ |f(x) - (-2)| = \left| \frac{2}{\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor} + 2 \right| = \left| \frac{2}{-1} + 2 \right| = 0. $$ Por lo tanto, siempre que $|x-0| < \delta$ y $x\in D$ tenemos $|f(x)-(-2)| = 0 < \varepsilon$ . Por lo tanto, $$ \lim_{x\to 0} \frac{2}{\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor} = -2, $$ como se ha reclamado.

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El punto importante aquí es que la definición de un límite sólo se preocupa por lo que ocurre en el dominio de la función. Los puntos en los que la función no está definida son irrelevantes. Mientras trabajemos con una función de valor real de una variable real, la función de interés simplemente no está definida en el intervalo $[0,2)$ y así no tenemos que preocuparnos por esos puntos.