Creo que tengo la respuesta correcta al problema específicamente, pero estoy un poco inseguro de mi uso de la notación little-o, o si esto es incluso lo que Apostol estaba sugiriendo hacer. (Apostol sí cubre little-o con respecto a las series de Taylor, no ha mencionado aún big-O). La pregunta en el libro (Apostol Calculus Vol. I, Sección 10.16 #18) es
Utilice la prueba de Gauss para demostrar que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdots(2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2n)} \right)^k$$ converge si $k>2$ y diverge si $k\le2$ .
La prueba de Gauss se da en esta forma: Si hay una $N \ge 1$ , un $s>1$ y un $M\ge0$ tal que
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac A n + \frac {f(n)}{n^s}\qquad \forall n\ge N$$ donde $|f(n)|\le M$ para todo n, entonces $\sum a_n$ converge si $A>1$ y diverge si $A\le 1$ .
Mi respuesta: $$\frac {a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^k=\left(1-\frac 1 {2(n+1)}\right)^k$$ Dejemos que $x=\frac 1 {n+1}$ entonces $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1-\frac 1 2 x\right)^k=1-\frac k 2x+o(x)\quad \text{as }x\to0^+$$ Creo que esta es casi la respuesta, ya que muestra que
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac k {2n}+o\left(\frac 1 n\right)\qquad \text{ as }n\to +\infty$$ y así veo la correlación con la fórmula de Gauss, y la distinción para $k\le2$ y $k>2$ para la divergencia y la convergencia. Para algunos $N$ tenemos que la función de la derecha es, como mucho, alguna $\epsilon>0$ menos de $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pero no estoy seguro de cómo proceder formalmente.
