Teoría de conjuntos, puntos fijos

Question

Dejemos que $f : \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(B)$ sea una función monótona y $I$ - su punto mínimo fijo. Demostrar que:

• si $I \subseteq A \subseteq B$ y $f_A : \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(A)$ , $f_A(X) = A \cap f(X)$ para todos $X \subseteq A$ entonces $I$ es el menor punto fijo de $f_A$ también;

• si $B \subseteq C$ y $f^C : \mathcal{P}(C) \to \mathcal{P}(C)$ , $f^C(X) = f(X \cap B)$ para todos $X \subseteq C$ entonces $I$ es el punto fijo mínimo de $f^C$ también.

Mi intento para la primera parte: Intenté usar la idea del Lemma de punto fijo de Tarski de que toda función, definida como arriba, tiene un punto prefijado mínimo y este punto prefijado mínimo es el punto fijo mínimo.

Así, construyo el conjunto $C = \{x|x \in \mathcal{P}(A), f_A(x) \subseteq x\}$ . Entonces, si demuestro que para un elemento arbitrario $x_0$ del conjunto $C$ , $I \subseteq x_0$ entonces yo seré el punto menos prefijado y, por lo tanto, el punto menos fijo.

¿Alguna pista de cómo se puede probar esto?

Answer 1

Para la primera parte, dejemos $J$ sea el menor punto fijo de $f_A$ . Porque $I$ es también un punto fijo de $f_A$ vemos que $J \subseteq I$ . Por lo tanto, tenemos $f(J) \subseteq f(I) = I \subseteq A$ y por lo tanto $J = f_A(J) = A \cap f(J) = f(J)$ Entonces $I \subseteq J$ .

Para la segunda parte, dejemos $J$ sea el menor punto fijo de $f^C$ . Entonces $J = f^C(J) = f(B \cap J) \subseteq B$ . Por lo tanto, $J = f^C(J) = f(J)$ . Entonces $I \subseteq J$ . A la inversa, ya que $I \subseteq B$ tenemos $I = f(I) = f(B \cap I) = f^C(I)$ Así que $J \subseteq I$ .