No, el sistema $D$ no es muy completa. En efecto, consideremos la fórmula $((X \to Y) \to X) \to X$ donde $X$ y $Y$ son variables proposicionales.
Es inmediato comprobar que $\models ((X \to Y) \to X) \to X$ mediante una tabla de verdad: para cada asignación de verdad a $X$ y $Y$ la fórmula $((X \to Y) \to X) \to X$ resulta ser cierto.
Sin embargo, $\not\vdash_D ((X \to Y) \to X) \to X$ por la siguiente razón:
- la fórmula $((X \to Y) \to X) \to X$ no es una instancia de ningún axioma del sistema $D$ y
- la fórmula $((X \to Y) \to X) \to X$ no puede derivarse aplicando la única regla de inferencia del sistema $D$ porque cualquier conclusión de dicha regla tiene la forma $\lnot \varphi$ que no es la forma de la fórmula $((X \to Y) \to X) \to X$ .
El argumento formal para responder a la pregunta 3 es lo que he escrito más arriba. Aquí doy una explicación informal, que contextualiza la respuesta.
Intuitivamente, la idea es que la única regla de inferencia en el sistema $D$ no permite el número de $\lnot$ para disminuir, al leerlo de arriba hacia abajo: si $\psi$ es una fórmula en una de las dos premisas de la única regla de inferencia del sistema $D$ y $\varphi$ es su conclusión, entonces el número de $\lnot$ que se produce en $\varphi$ no puede ser inferior al número de $\lnot$ que se produce en $\psi$ .
Por lo tanto, el hecho de que $ \vdash_D \lnot \lnot \varphi$ (es decir $\lnot \lnot \varphi$ es demostrable en el sistema $D$ ) no implica que $\vdash_D \varphi$ . Este hecho podría parecer contradictorio porque $\varphi$ y $\lnot \lnot \varphi$ son lógicamente equivalentes, es decir, tienen la misma tabla de verdad (formalmente, $\models \lnot \lnot \varphi$ si y sólo si $\models \varphi$ ). La equivalencia lógica es una semántica noción, mientras que la demostrabilidad $\vdash_D$ es un sintáctico noción: el único medio que tienes para concluir que $\vdash_D \varphi$ son los axiomas y la única regla de inferencia del sistema $D$ . No importa si $\lnot \lnot \varphi$ es lógicamente equivalente a $\varphi$ , en el sistema $D$ no tiene ninguna norma que le permita pasar de $\lnot\lnot \varphi$ a $\varphi$ .
Si el sistema $D$ fueron muy completo (y el sonido), entonces podría intercambiar libremente $\models$ (validez semántica) con $\vdash_D$ (probabilidad sintáctica en el sistema $D$ ), por lo que se podría decir que, dado que $\lnot \lnot \varphi$ es lógicamente equivalente a $\varphi$ El hecho de que $\vdash_D \lnot \lnot \varphi$ (es decir $\lnot\lnot \varphi$ es demostrable en el sistema $D$ ) implicaría que $\vdash_D \varphi$ . Pero en realidad el sistema $D$ es no fuertemente completa, y así $\models$ y $\vdash_D$ no pueden intercambiarse libremente.
