Las respuestas a la pregunta del PO dependen de por dónde esté dispuesto a empezar el PO. Para demostrar que un grupo definido abstractamente es (es decir, tiene la estructura de) un grupo de Lie, habrá que utilizar algo no trivial, ya que no es una tarea trivial, en general.
Por ejemplo, É. Cartan afirma que el conjunto de (¿liso?, $C^k$ ?, analítico?) difeomorfos de una variedad $M$ que conservan un (¿liso? $C^k$ ?, analítico?) es (es decir, tiene una estructura natural como) un grupo de Lie, fue tomado como obvio por él, pero no fue realmente demostrado con los estándares modernos de rigor hasta mucho más tarde. Fue la base de todos sus resultados sobre el grupo de simetrías de diversas estructuras geométricas (incluida la geometría conforme en dimensiones al menos $3$ ) que son grupos de mentiras. En particular, implica que el grupo de auto-isometrías de una variedad pseudo-riemanniana es un grupo de Lie.
Si la OP está dispuesta a asumir que el grupo de auto-isometrías de una variedad riemanniana es un grupo de Lie, entonces se puede dar un argumento de que el grupo de simetrías conformes de una variedad de dimensión al menos $3$ es un grupo de Lie también usando sólo esto, y, además, uno puede ver inmediatamente, basándose en la geometría de Riemann, dónde entra la suposición de que la dimensión es al menos 3. La idea es la siguiente:
Si $g$ es una métrica en un $n$ -manifold $M$ y $u$ es una función suave en $M$ entonces considere la expresión $\mathrm{Ric}(e^{2u}g)$ que calcula la curvatura de Ricci de la métrica conforme $g' = e^{2u}g$ : $$ \mathrm{Ric}(e^{2u}g) = \mathrm{Ric}(g)-(n{-}2)\left(\mathrm{d}u^2+|\nabla u|^2g\right) - (n{-}2)\,\mathrm{Hess}(u) + (\Delta u)\,g, $$ donde $\mathrm{Hess}(u) = \nabla(\mathrm{d}u)$ es una forma cuadrática que expresa las segundas derivadas covariantes de $u$ y cuya huella es $-\Delta u$ . Así, cuando $n\ge 3$ si se especifica el $1$ -chorro de $u$ en $p$ Habrá un único extensión a un $2$ -chorro de $u$ en $p$ tal que $\mathrm{Ric}(e^{2u}g)(p)=0$ . (Por el contrario, cuando $n=2$ , $\mathrm{Ric}(e^{2u}g) = (2K(g)+\Delta u)\,g$ , donde $K(g)$ es la curvatura de Gauss de $g$ por lo que al especificar $\mathrm{Ric}(e^{2u}g)(p)=0$ sólo detemina un coeficiente de la $2$ -chorro de $u$ en $p$ en lugar de todo $3$ coeficientes).
Esta observación puede utilizarse para demostrar que, cuando $n\ge 3$ si dejamos que $C\to M$ sea el $\mathbb{R}^+$ -conjunto de todos los múltiplos de $g$ que sólo depende de la clase conforme de $g$ Entonces, el $\pi:J^1C\to M$ el haz de $1$ -chorros de secciones de $C$ hay una canónica $n$ -plano de paquetes $D\subset T(J^1C)$ que es transversal a las fibras de $\pi:J^1C\to M$ y es tal que el $1$ -grafo de chorro de una métrica conforme $e^{2u}g$ es tangente a la $n$ -plano de paquetes $D$ sobre un punto $p\in M$ si y sólo si $\mathrm{Ric}(e^{2u}g)(p)=0$ . Cualquier transformación conforme de $\bigl(M,[g]\bigr)$ induce canónicamente una transformación de $J^1C$ que conserva este $n$ -campo plano $D$ . Esto define una división canónica $T(J^1C) = D\oplus \mathrm{ker}(\pi')$ que puede utilizarse para construir una métrica canónica $h$ en $J^1C$ que es preservado por cualquier transformación de este tipo. Así, el grupo de $[g]$ -transformaciones conformes en $M$ está incrustado en el grupo de autoisometrías de $(J^1C,h)$ y, por lo tanto, se incrusta como un subgrupo (cerrado, resulta) de un grupo de Lie. De este modo, hereda la estructura de un grupo de Lie.
Por cierto, por razones totalmente diferentes, el grupo de transformaciones conformes en dimensión $2$ también es un grupo de Lie, pero no se puede demostrar por el método anterior. En su lugar, se utiliza el Teorema de Uniformización, que muestra que cualquier Riemanniano simplemente conectado $2$ -es confortablemente equivalente al disco, al plano o a la esfera (con sus estructuras conformacionales estándar) y luego apela al análisis complejo elemental para demostrar que sus simetrías conformacionales son grupos de Lie.
Por último, no me resisto a señalar que el grupo de transformaciones conformes en dimensión $1$ es, hoy en día, no considerado como un grupo de Lie, aunque Lie (y Cartan) lo consideraron como un grupo de Lie, sólo que de dimensión infinita.
