Formas reales de espacios complejos del vector y $\mathbb{C}$-álgebra

Question

Una forma real $W$ de un complejo espacio vectorial $V$ es un verdadero subespacio s.t. $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}W \cong V$ $a\otimes x \longrightarrow ax$ , o, equivalentemente, hay un $\mathbb{R}$-base de $W$ que es también una $\mathbb{C}$-base de $V$.

Hay un hecho que cada complejo espacio vectorial tiene una forma real.

Por ejemplo, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{R}[x]$ y $M_n(\mathbb{R})$ son formas reales de $\mathbb{C}^n$, $\mathbb{C}[x]$ y $M_n(\mathbb{C})$ respectivamente. Los dos últimos ejemplos no sólo son espacios vectoriales reales pero real subalgebras.

Así que, me pregunto si algún complejo álgebra asociativa $A$ tiene una forma real, es decir, un verdadero subalgebra $B$ s.t. $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}B \cong A$ $\mathbb{C}$- algbras? ¿Hay algún contraejemplo?

Answer 1

Estoy muy seguro de que hay contraejemplos, pero no he encontrado uno tan lejos. De hecho, he encontrado muchos ejemplos que, sorprendentemente, tiene una forma real. Comparto aquí para que otras personas interesadas en este problema no tendrá a caer en las mismas trampas. Asumo ninguna álgebra para ser unital.

1. Si $G$ es cualquier monoid, entonces el monoid álgebra $\mathbb{C}[G]$ tiene una forma real. Esto se aplica en particular a la libre álgebras conmutativas (es decir, el polinomio de anillos en cualquier conjunto de variables), así como a la libre álgebras.
2. La clase de $\mathbb{C}$-álgebras con una forma real es cerrado bajo arbitraria productos y tensor de productos. Observe que, aunque tensoring con una extensión de campo no tiene que preservar infinito productos, este es el caso de campo finito extensiones como $\mathbb{C}/\mathbb{R}$.
3. Un $\mathbb{C}$-álgebra $A$ tiene una forma real si y solo si hay un homomorphism de $\mathbb{R}$-álgebras ${}^* : A \to A$ que es una involución (es decir,$a=(a^*)^*$) y satisface $(\lambda a)^* = \overline{\lambda} a^*$. Observe la similitud con la noción de un *-álgebra, la diferencia es que exigimos $(ab)^* = a^* b^*$. Prueba: "$\Rightarrow$ " $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} B$ definir $(\lambda \otimes b)^* := \overline{\lambda} \otimes b$. "$\Leftarrow$" Considere la posibilidad de la real subalgebra $B=\{a \in A : a^*=a\}$. Cada $a \in A$ tiene una representación única como $a=r + is$$r,s \in B$, es decir,$r = \frac{a+a^*}{2}$$s=\frac{a-a^*}{2i}$. Así $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} B \cong A$. $\square$
4. Si $X$ es cualquier espacio topológico, entonces $C(X,\mathbb{C})$ tiene una forma real, es decir,$C(X,\mathbb{R})$. De hecho, tenemos la involución dado por tomar el conjugado complejo pointwise.
5. Si $D \subseteq \mathbb{C}^k$ es un (Edit: simétrica) de dominio, entonces el $\mathbb{C}$-álgebra de holomorphic funciones de $D \to \mathbb{C}$ tiene una involución y, por tanto, una forma real: Aplicar la compleja conjugación de los coeficientes de un poder de expansión de la serie.
6. Si $B$ es cualquier conjunto de variables, entonces el campo de función $\mathbb{C}(B)$ tiene una forma real. Más generalmente, si $L/K$ es una expresión algebraica de extensión de campo, a continuación,$L \otimes_K K(B) \cong L(B)$.
7. Si $f \in \mathbb{C}[x]$, $\mathbb{C}[x]/(f)$ tiene una forma real. De hecho, esta álgebra es isomorfo a $\prod_i \mathbb{C}[x]/(x^{k_i})$ si $k_i$ es la multiplicidad de la $i$th raíz de $f$, e $\mathbb{C}[x]/(x^{k_i}) = \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}[x]/(x^{k_i})$.
8. Yo creo que no debe ser un polinomio $f \in \mathbb{C}[x,y]$ tal que $\mathbb{C}[x,y]/(f)$ no tiene forma real. En el lenguaje de la geometría algebraica, esto significa que la curva compleja $V(f)$ no es definible $\mathbb{R}$. En la literatura sólo pude encontrar información acerca de las curvas. Así que vamos a tomar una muestra aleatoria polinomio (honestamente, yo sólo lo hacen hasta en la redacción de este) $f = x^3 + i x y + y^2 x + i$. Sustituyendo $y$ $iy$ da $f' = x^3-xy - y^2 x + i$. Sustituyendo $x$ $ix$ da $f''=-i x^3-ixy - iy^2 x + i$. Por lo tanto, $\mathbb{R}[x,y]/(-x^3-xy-y^2 x + 1)$ es una forma real. Este tipo de sustitución se ha trabajado en todos los ejemplos al azar que he probado.

Answer 2

Aquí es un boceto de una construcción:

Deje $k$ ser un perfecto campo. El $j$-invariante proporciona un mapa $$j : \{\text{elliptic curves over } k\}/~{\cong} \to k$$ que es bijective al $k$ es algebraicamente cerrado. Se conmuta con el cambio de base (ya que el $j$-invariante puede ser calculada a partir de la ecuación de Weierstrass). Ahora tome una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ $j$- invariantes en $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$. Su campo de función es una $\mathbb{C}$-álgebra que no es inducida por una $\mathbb{R}$-álgebra, ya que este tendría que ser el campo de función de una curva elíptica sobre$\mathbb{R}$, lo que induce a una determinada $\mathbb{C}$. Pero entonces no tendría $j$-invariantes en $\mathbb{R}$, una contradicción.