Intento demostrar el siguiente hecho sobre los haces vectoriales holomorfos sobre la recta proyectiva compleja:
- Los haces vectoriales estables son los haces de líneas, es decir $\mathcal{O}(a)$ el haz de líneas holomórficas de grado $a\in\mathbb{Z}$ .
- Los haces vectoriales semiestables son la suma de haces de líneas del mismo grado: $\mathcal{O}(a)^k$ , $k\in\mathbb{N}_0$ .
Adopto el enfoque diferencial-geométrico de la estabilidad de la pendiente: si $E\rightarrow \mathbb{P}_C^1$ es un haz vectorial holomorfo sobre su pendiente se define por $\mu(E) = \frac{\deg E}{\text{rank}E}$ donde el grado suele calcularse a través de la primera clase de Chern, $\deg E=\int_{\mathbb{P}_C^1} c_1(E)$ .
Es bastante fácil ver $^\dagger$ que los haces de líneas son estables: cualquier subfondo holomorfo de un haz de líneas es trivial o el mismo haz; la estabilidad se satisface vacuamente.
También es fácil ver usando el teorema de descomposición de Grothendieck (cualquier haz holomorfo sobre $\mathbb{P}_C^1$ es equivalente a algún $\bigoplus_i \mathcal{O}(a_i)^{k_i}$ con todos $a_i$ distinto. Si tenemos más de un término en esa suma, tomando el máximo $a_M$ implicado aquí daría lugar a un subfondo desestabilizador de la forma $$ \mathcal{O}(a_M)^{k_M}\hookrightarrow \bigoplus_i \mathcal{O}(a_i)^{k_i} $$ y tenemos que $\mu(\mathcal{O}(a_M)^{k_M}) = a_M > \frac{\sum_i a_i k_i}{\sum_j k_j} = \mu\left( \bigoplus_i \mathcal{O}(a_i)^{k_i} \right)$ .
Ahora sólo tendría que demostrar que todos $\mathcal{O}(a)^k$ son semiestables, lo que significa que cualquier subfondo holomorfo $E\hookrightarrow \mathcal{O}(a)^k$ tiene como máximo una pendiente $a$ . No encuentro ningún buen argumento para esto. He intentado considerar el haz de cocientes $Q$ esto induce $$ 0 \rightarrow E \hookrightarrow \mathcal{O}(a)^k \twoheadrightarrow Q \rightarrow 0, $$ pero no puedo seguir adelante. ¿Cómo podría demostrar que $E$ no desestabiliza $\mathcal{O}(a)^k$ ?
$\dagger$ Nota: : Necesitaría demostrar que la estabilidad se puede probar con subgrupos en lugar de subescalas. Lo doy por hecho sobre superficies de Riemann, pero como nota al margen me gustaría una explicación de este hecho o una referencia.
