¿Cuál es el momento canónicamente conjugado al espín en QM?

Question

En la obra de Kopec y Usadel Phys. Rev. Lett. 78.1988 se introduce un hamiltoniano de cristal de espín en la forma

$$ H = \frac{\Delta}{2}\sum_i \Pi^2_i - \sum_{i<j}J_{ij}\sigma_i \sigma_j, $$ donde las variables $ \sigma_i (i = 1, \ldots, N) $ se asocian a los grados de libertad de espín [...] y se conjugan canónicamente con los operadores de "momento" $ \Pi_i $ tal que $ [\sigma_i, \Pi_j] = i \delta_{ij} $ .

Ahora, estoy acostumbrado a escribir el término "cinético" en un Hamiltoniano de campo transversal tipo Ising como $ \propto \sum_i \sigma^x_i $ (trabajando en la base estándar de $ \{\sigma^z_i\} $ ), por lo que este pasaje me plantea algunas preguntas.

¿Qué son estos $ \Pi_i $ ¿operadores? Si $ \Pi_i^2 = \sigma^x_i $ como creía inicialmente, entonces no pueden ser observables, ya que el cuadrado de un operador autoadjunto es semidefinido positivo (que $ \sigma^x_i $ no lo es). De hecho, si uno se limita a la $ i $ -a la vuelta y toma $ i = j $ se puede demostrar fácilmente que $$ [\sigma^z, \Pi] = \sigma^z \Pi - \Pi^\dagger \sigma^z = i \mathbb 1 $$ se satisface para $$ \Pi = \begin{pmatrix}i/2&b\\-\bar{b}&-i/2\end{pmatrix} $$ con $ b \in \mathbb C $ . Esto se eleva al cuadrado de un múltiplo de la matriz de identidad, lo que parece una elección impar para un término cinético. Creo que me falta algo aquí.

En términos más generales, ¿se puede definir un momento "canónicamente conjugado" a $ \sigma^z $ ¿O cualquier otro operador de giro? Según tengo entendido, en la mecánica clásica las variables conjugadas a las rotaciones físicas son los ángulos, pero esto no puede trasladarse a la MC de forma obvia.

Answer 1

Aunque el conmutador explícito que escribiste es incorrecto--no deberías haber conjugado $\Pi$ en el segundo término su conclusión es sólida que no puede posiblemente satisfagan la relación de conmutación de Born-Heisenberg con matrices de 2x2.

De hecho, existe una Teorema : El álgebra de Heisenberg no admite representaciones fieles de dimensión finita (matriciales) . Así que, sean cuales sean, sus variables $\sigma, \Pi$ no son operadores acotados--y por lo tanto no pueden ser las matrices 2x2 que estás considerando.

Esta observación fue hecha por primera vez por P. Jordan, Zeits. f. Phys. 44 1 (1927).

Answer 2

En primer lugar, hay una razón muy elemental por la que $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ es imposible para matrices de dimensión finita. Porque esa identidad resultaría en la siguiente contradicción: $$ \text{Tr}[A,B] = 0 \neq \text{Tr} (i \cdot \mathbb{1}) = i \cdot n$$ Donde $A,B$ son $n \times n$ matrices.

Sin embargo, si leemos el documento de Kopec y Usadel cuidadosamente, observamos una frase clave que no se menciona en la pregunta:

Para captar la física esencial del problema consideramos un modelo esférico cuantificado en la red de Bethe dado por el Hamiltoniano: $$ H = \frac{\Delta}{2} \sum_i \Pi_i^2 - \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j $$

La palabra resaltada "modelo esférico" significa que tenemos la restricción esférica $\sum_i \sigma_i^2 = 1$ en lugar de la restricción de Ising $\sigma_i^2 = 1$ para todos $i$ . Así que el $\sigma_i$ en este modelo es de hecho un operador de posición restringido que actúa en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, y una relación de conmutación como $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ es concebible.

Sin embargo, tengo una confusión persistente. Al considerar las restricciones esféricas, estoy acostumbrado a cuantificar las abrazaderas de Dirac en lugar de las abrazaderas de Poisson (la abrazadera de Dirac es una modificación de las abrazaderas de Poisson, discutida, por ejemplo, en la sección 7.6 de Weinberg QFT). Utilizando los corchetes de Dirac: $$ [\Pi_i, \sigma_j] \neq i \mathbb{1}$$ Así que no entiendo muy bien por qué el autor utilizó la relación de conmutación canónica estándar para cuantificar el sistema. Espero que alguien más aclare este punto.