Se han dado varios ejemplos ingeniosos de subconjuntos conectados no limitados de la plano euclidiano que no contienen infinito subconjuntos limitados que están conectados. Ninguno de los que he visto es completamente metrizable. ¿Alguien sabe si pueden existir tales o si su existencia puede ser descartada por algún teorema? Sé que no pueden existir tales conjuntos completamente metrizables completamente metrizables si son las gráficas de funciones de la forma y=f(x) en el plano cartesiano. cartesiano. Pero, ¿se extiende esta prohibición a todos los conjuntos planos conectados no limitados?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Brady
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Lo siguiente da una respuesta parcial: no puede existir tal conjunto conexo no limitado con la suposición adicional de que es cerrado . En realidad, el argumento se generaliza para cualquier espacio métrico localmente compacto. Sin embargo, no estoy del todo seguro de que pueda existir una prueba mucho más sencilla o incluso trivial.
Dejemos que $\Gamma$ sea un subconjunto cerrado y conexo del plano. Sea $x\in\Gamma$ y que $B:=B(x,r)$ ser un balón abierto alrededor de $x$ . Afirmo que el componente conectado de $x$ en $\Gamma\cap \bar{B}$ se encuentra con $\partial B$ lo que demuestra que $\Gamma$ contiene subconjuntos conexos acotados no triviales.
Para cualquier $\epsilon>0$ Considere la $\epsilon$ -vecino de $\Gamma,$ es decir $\Gamma_\epsilon:=\cup_{y\in\Gamma}B(y,\epsilon).$ Es un subconjunto conexo abierto y no limitado del plano. Sea $U_\epsilon$ sea el componente conexo de $x$ en $\Gamma_\epsilon\cap B$ . Dado que esta última está conectada localmente, $U_\epsilon$ es un subconjunto abierto y cerrado de ella en la topología relativa. Por lo tanto, es un subconjunto abierto de $\Gamma_\epsilon$ Sin embargo, no está cerrado en él, porque $\Gamma_\epsilon$ está conectado. Por lo tanto, $\bar U_\epsilon$ es un conjunto cerrado y conectado que cumple con $\partial B, $ y por supuesto contiene $x$ . Dado que el conjunto de todos los subconjuntos cerrados conectados de un espacio métrico compacto es compacto en la distancia de Hausdorff, tomando un límite como $\epsilon\to0$ obtenemos un subconjunto conexo acotado de $\Gamma$ conectando $x$ con $\partial B$ (esto también pasa al límite).
Rmk Se podría plantear lo anterior en términos de la compactación de un punto de $\Gamma$ y más generalmente para espacios métricos compactos conectados. El truco de aproximar un espacio métrico con un espacio métrico localmente conectado es posible a través de la incrustación de Kuratowski (se define $X_\epsilon$ como $\epsilon$ nbd de $X$ en la incrustación).
PD: Por supuesto, la misma conclusión afirmativa es válida, incluso más directamente, si $\Gamma$ se supone que es abierto, que es otro caso incluido en el supuesto original de completamente metrizable.
