Aproximación a la integral divergente

Question

Hola a todos,

Soy un físico, trabajando en procesos estocásticos y me he topado con un integral que no soy capaz de aproximar el uso de steepest descent (no tengo grandes o pequeños parámetro), integración por partes, o cualquiera de las otras técnicas comunes. Así que me gustaría mucho apreciar la entrada de cualquiera de los matemáticos!

La integral es $$f(x) = \int_{x}^{\infty} \frac{\Phi(t)}{t^{5}}dt$$ con $\Phi(t) = e^{i \pi t^{2} / 2}[C(t) + i S(t)]$. Aquí, $C(t)$ $S(t)$ son las integrales de Fresnel definido por $$C(t) + i S(t) = \int_{0}^{t} e^{i \pi u^{2} / 2} du\ .$$ Lo que realmente quiero es el comportamiento de los $f(x)$ pequeña $x$. Pero, la integral es formalmente divergentes si $x = 0$.

Hizo un poco de progreso con la integración por partes, pero yo no era capaz de completamente separada de mi parte integral convergente en pedazos.

Answer 1

En primer lugar, cortar la cola hacia el infinito:

$$f(x) = \int_{x}^1 \frac{\Phi(t)}{t^5} dt + \int_1^{\infty} \frac{\Phi(t)}{t^5} dt.$$

El segundo término es una constante, por lo que se puede calcular numéricamente de una vez por todas.

Escribir $$e^{i \pi u^2/2} = 1 + \frac{i \pi}{2} u^2 +R(u)$$ y $$\int_{0}^t e^{i \pi u^2/2} du = t + \frac{i \pi}{6} t^3 + \int_{0}^t R(u) du.$$

Así $$\frac{\Phi(t)}{t^5} = \left( t^{-4} + \frac{i \pi}{6} t^{-2} + t^{-5} \int_{0}^t R(u) du \right) \left( 1 + \frac{i \pi}{2} t^2 + R(t) \right)=$$ $$t^{-4} + \frac{2 \pi i}{3} t^{-2} + \left( t^{-4} R(t) - \frac{\pi^2}{12} + \int_{0}^t R(u) du \right).$$

Así $$\int_{x}^1 \frac{\Phi(t)}{t^5} dt = \frac{1}{3}\left( x^{-3} - 1 \right) + \frac{2 \pi i}{3} \left( x^{-1} -1 \right) + \int_{x}^1 \left( t^{-4} R(t) - \frac{\pi^2}{12} + \int_{0}^t R(u) du \right) du.$$

El integrands en el último término están delimitadas las funciones, y que están siendo integrados sobre dominios acotados, así que no hay problema de aproximar numéricamente.

Si usted quiere una fórmula asintótica, en lugar de una aproximación numérica, usted debería ser capaz de seguir tomando más términos para obtener una fórmula como $$f(x) = \frac{1}{3} x^{-3} + \frac{2 \pi i}{3} x^{-1} + C + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + O(x^{n+1}) \quad \mathrm{as} \ x \to 0.$$ Usted probablemente no será capaz de obtener la constante de $C$ en forma cerrada, porque se trata de todos aquellos convergente integrales. El otro $a_i$ será gettable en forma cerrada, a pesar de que va a empeorar y empeorar como calcular más de ellos.