Parece que has modificado tu pregunta original en la que, si recuerdo bien, la conmutatividad del símbolo $<a, b>$ estaba ausente. Pero sus definiciones - del grupo Brauer, del símbolo $<a,b>$ - no son lo suficientemente precisos. Y además, no aparece en tu prueba que las equivalencias entre las 4 propiedades no sean de la misma naturaleza. Permíteme que intente explicarlo.
1) Simetría de la propiedad normativa , a saber a es una norma de $K(\sqrt b)$ si b es una norma de $K(\sqrt a)$ . Este es un resultado algebraico elemental: es obvio que la forma cuadrática $X^2-aY^2-bZ^2$ representa $0$ si $b$ es una norma de $K(\sqrt a)$ entonces basta con permutar las variables $Y, Z$ .
2) (Anti)-comutatividad del símbolo. Hay al menos dos definiciones equivalentes del grupo de Brauer, vía cohomología o vía álgebras centrales simples. Aquí la aparición de cociclos con valores $0,1$ parece indicar que se opta por una definición cohomológica, con aditivo notación para los valores. Pero no es una buena idea concentrarse en los cálculos de los cociclos, porque después de todo la maquinaria cohomológica funciona con grupos de cohomología y sus propiedades funcionales. Así, en el entorno cohomológico, el absoluto Grupo Brauer de $K$ se define como $Br(K)=H^2(G_K, {K_{sep}}^*)$ que es el límite inductivo del relativa Grupos Brauer $Br(L/K)=H^2(Gal(L/K), L^*)$ cuando $L$ recorre las extensiones de Galois finitas de $K$ .
Para $a,b$ vivir en $K^*$ o en $K^*/{K^*}^2$ (comprobar que no importa), su símbolo $<a,b>$ para $a,b \in K^*$ es entonces una determinada clase de cohomología en $Br(K)$ definida como la imagen de $(a,b)$ bajo el taza-producto emparejamiento $H^1(G_K, {\mu}_2) \times H^1(G_K, {\mu}_2) \to H^2(G_K, {\mu}_2)$ con ${\mu}_2=(\pm 1)$ ( multiplicativo notación para los valores). Sin detallar el producto taza, precisemos la definición de los distintos términos. En la cohomología de la secuencia exacta $1\to {\mu}_2\to {K_{sep}}^*\to {K_{sep}}^*\to 1$ (tomando cuadrados en ${K_{sep}}^*$ es un homomorfismo sobreyectivo), el thm.90 de Hilbert dice que $H^1(G_K, {K_{sep}}^*)=0$ Por lo tanto $H^1(G_K, {\mu}_2)\cong K^*/{K^*}^2 $ así como $H^2(G_K, {\mu}_2)\cong Br(K)[2] $ (= el subgrupo de elementos muertos por $2$ ). Además, como $G_K$ actúa trivialmente sobre ${\mu}_2, H^1(G_K, {\mu}_2)= Hom(G_K, {\mu}_2)$ y el último grupo de Hom es $\cong K^*/{K^*}^2$ por la teoría de Kummer. Así que, finalmente, el producto taza induce un emparejamiento $(K^*/{K^*}^2)\times (K^*/{K^*}^2)\to Br(K)[2], (a,b)\to <a,b>$ .
NB: El producto-copa general con valores en $(\mu_n$ ) es anticomutativo es decir $<a,b>={<b,a>}^{-1}$ . Aquí es conmutativo sólo porque los coeficientes están en $\mu_2$ . De todos modos, la anticomutatividad también hace el trabajo en el caso general.
3) $a$ es una norma de $K(\sqrt b)$ si $<a,b>=1$ . El enfoque functorial tiene también la ventaja de explicar por qué y cómo se introducen algunas nociones/definiciones que a veces dan la impresión de caer del cielo. Para mayor claridad, abordo el caso general cuando $K$ contiene el grupo $\mu_n$ de $n$ -raíces de la unidad, con $n$ no divisible por char( $K$ ). Supongamos que dado un grado $n$ extensión cíclica $L=K(\sqrt [n](a)/K$ con el grupo de Galois $G$ y el isomorfismo de Kummer $\phi: G \cong Hom (<a>$ mod ${K^*}^n, \mu_n)$ [ $\phi$ es el mismo que en su primera línea cuando $n=2$ ]. Entonces el mapa $K^*\to H^2(G, K^*)$ enviar un elemento $b\in K^*$ a la clase del álgebra cíclica $(\phi, b)$ induce un isomorfismo $H^2(G, L^*)\cong K^*/N(L^*)$ , donde $N$ es el mapa normativo . Se deduce inmediatamente que $b$ es una norma de $K(\sqrt a)$ si el álgebra cíclica $(\phi, b)$ está dividido (es decir, es isomorfo al álgebra matricial $M_2(K)$ ). No recuerdo la definición de $(\phi, b)$ pero basta con decir que para $n=2$ coincide con el álgebra de cuaterniones generalizada $(a,b)$ con la base { $1,i,j,ij$ } definida por $i^2=a, j^2=b, ij=-ji$ . Así, el enfoque functorial no sólo explica la intervención de $\phi$ pero también establece un vínculo entre las dos definiciones de $Br(K)$ ./.
Ref. El mejor parece ser el libro "Central simple algebras and Galois cohomology" de P. Gille & T. Szamuely, Cambridge Univ. Press, chap. 1 y 4.
