Problema para demostrar una afirmación sobre el cierre proyectivo de una variedad afín.

Question

En el problema $2.9$ de la sección de Hartshorne $1.2$ definió el cierre proyectivo de una variedad afín.

Dejemos que $Y\subset \mathbb A^n$ sea una variedad afín, sea $\phi : U_0 \rightarrow \mathbb A^n$ sea el homeomorfismo que envía a $P=[a_0;..;a_n]\mapsto (a_1/a_0,...a_n/a_0)$ donde $U_0= \mathbb P^n - Z(x_0)$ . Entonces el cierre proyectivo de $Y$ en $\mathbb P^n$ es el cierre de la imagen de $Y$ bajo el homeomorfismo en $\mathbb P^n$ .

Dejemos que $\beta : k[y_1,...,y_n] \rightarrow k[x_0,..,x_n]$ sea el mapa que envía $g$ a $x_0^{deg \ g} g(x_1/x_0,..,x_n/x_0)$ . Entonces $I(\overline Y)= ( \beta (I(Y)))$ .

Podría demostrar que $(\beta (I(Y)))\subset I(\overline Y)= I(\phi^{-1}(Y))$ .

En el sentido inverso estoy atascado. En muchas soluciones online estoy viendo que han utilizado un argumento como este: $f\in I(\overline Y) \Rightarrow f(P)=0 \forall P\in \phi^{-1} (Y) $ y se supone que $f$ es homogénea . Entonces $\beta(f(1,y_1,..,y_n)=f $ y $g= f(1,y_1,..,y_n) \in I(Y)$ .

Pero tomando el ejemplo $xy^2+ xyz= f $ Me encuentro con una contradicción en el paso que indica $f$ es a imagen y semejanza de $\beta$ .

Estaba pensando en probar $\beta (I(Y))$ genera un ideal primo cuando $I(Y)$ es primordial. Pero no pude probarlo.

¿Puede alguien ayudarme sugiriendo alguna forma de abordar esta inclusión?

Answer 1

Pista: queremos utilizar una combinación de $\alpha$ y $\beta$ (definido en la prueba de la proposición 2.2) para llegar a esta conclusión. ¿Hay elementos $f\in k[x_0,\cdots,x_n]$ para que $\beta(\alpha(f))=f$ ? ¿Hay alguno de estos elementos en $I(\overline{Y})$ ? ¿Qué puede decir sobre esto?

Solución completa bajo el texto del spoiler.

Supongamos que $Y$ es no vacía. Entonces $\overline{Y}\subset\Bbb P^n$ no está contenida en $V(x_0)$ por lo que podemos elegir un conjunto generador $\{f_1,\cdots,f_r\}$ para $I(\overline{Y})$ para que cada $f_i$ es homogénea y no $f_i$ es divisible por $x_0$ . Ahora recuerda la operación $\alpha$ definido en la prueba de la proposición 2.2: $\alpha(f(x_0,\cdots,x_n))=f(1,y_1,\cdots,y_n)$ que cae en el álgebra de coordenadas de $\Bbb A^n=U_0$ y si $f\in I(\overline{Y})$ entonces $\alpha(f)$ se desvanece en $Y$ y así $\alpha(f)\in I(Y)$ . Por otro lado, $\beta(\alpha(f))=f$ para la homogeneidad $f\in k[x_0,\cdots,x_n]$ no divisible por $x_0$ - puedes comprobarlo mediante un cálculo directo. Así que los elementos $\alpha(f_i)$ están todos en $I(Y)$ y $\beta$ de estos elementos generan $I(\overline{Y})$ Así pues, hemos demostrado que $I(\overline{Y})$ es generado por $\beta(I(Y))$ .

En cuanto a lo que sucede con su ejemplo de $xy^2+xyz$ Lo que está fallando aquí es que al tomar $x$ para ser $x_0$ tenemos que $\beta(\alpha(xy^2+xyz))=y^2+yz$ . Así que $xy^2+xyz$ está en el ideal generado por $\beta(\alpha(xy^2+xyz))$ lo que está bien - si $xy^2+xyz$ está en el ideal de $\overline{Y}$ para un número no vacío de $Y\subset U_0$ entonces $y^2+yz$ también debe serlo ya que $I(\overline{Y})$ es primo y no contiene $x$ porque $\overline{Y}\not\subset V(x)$ .