Pregunta: Dejemos que $a \in \mathbb{R}$ . Encuentre todos los valores posibles de $a$ tal que existe una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfaciendo $f(x + 2) = -f(x)$ y $f(x + 3) = f(x) + a$ para cualquier número real $x \in \mathbb{R}$ .
Mi solución (quizás equivocada) :
Comienza a enumerar algunos valores de $f(x)$ con $f(2) = -f(0)$ y $f(3) = f(0) + a$ .
$f(2) + f(3) = - f(0) + f(0) + a = a$ .
Del mismo modo, se puede escribir $f(1) = -(f(-1))$ y $f(2) = f(-1) + a$ .
Por lo tanto, $f(1) + f(2) = -(f(-1)) + f(-1) + a = a$ .
Así que, $f(1) + f(2) = f(2) + f(3) \Longrightarrow f(1) = f(3).$
Pero, según el problema, $f(x + 2) = -f(x) \Longrightarrow f(3) = -f(1)$ .
Desde $f(1) = f(3)$ y $f(1) = -f(3) \Longrightarrow f(1) = f(3) = 0.$
Haciendo pasos similares, descubrimos que $f(0) = f(2) = 0$ . Por lo tanto, $a = f(2) + f(3) = 0 + 0 = 0$ .
El único valor posible de $a$ es $\boxed{0}$ .
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Si estoy haciendo algo mal, ¿alguien puede explicarlo? Gracias de antemano.
(Gracias a las respuestas, ahora sé que sólo tengo que probar que $a = 0$ puede satisfacer una función válida :))
