La irreductibilidad en campo finito implica la irreductibilidad en $\mathbb{Z}$ ?

Question

Dejemos que $p$ sea un primo, $f$ sea un polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ . Supongamos que $f$ es irreducible en $\mathbb{F}_p[x]$ .

Mi pregunta es : ¿Es $f$ irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ ?

Esta pregunta proviene originalmente del ejemplo 4.29 de los apuntes Field and Galois theory de J.S.Milne, en el que daba una implicación de "un polinomio es irreducible mod 3(aún reducible mod 2) entonces es irreducible en $\mathbb{Z}$ .

Actualización Tengo más preguntas después de leer los comentarios y la respuesta a continuación. Entonces, si $f$ es mónico, ¿cuál es la condición para que sea irreducible mod $p$ para algún primo $p$ lo que implica la irreductibilidad de $f$ en $\mathbb{Z}[x]$ ? ¿Debe ser "irreducible modulo $p$ para todos los primos $p$ (no para algunos) ?

Answer 1

Para ampliar el comentario de Ted, si el coeficiente principal no es cero en el campo finito, entonces esto es realmente cierto. La forma más fácil de ver por qué es considerar el contrapositivo :

$~\bf($ irreducible en $\Bbb F_p[x]\implies$ irreducible en $\Bbb Z[x]\bf)\iff ($ reducible en $\Bbb Z[x]\implies$ reducible en $\Bbb F_p[x]\bf)$

Si $f(x)=a(x)b(x)$ es cierto en $\Bbb Z[x]$ entonces es cierto en $\Bbb F_q[x]$ el único obstáculo a esta última implicación es que uno de los $a(x)$ o $b(x)$ es un escalar después de reducir modulo $p$ lo que no puede ocurrir si el grado de $f$ se conserva mediante la reducción del módulo.

Answer 2

Desde luego que no. Por ejemplo $x+px^2$ es irreducible mod $p$ ya que equivale a $x$ .

Answer 3

Mira $3x^2-x-2$ con $p=3$ .