Demostrar que una función es convexa

Question

De la definición de convexo:

Teorema a demostrar:

Si $f$ es diferenciable y $f'$ es creciente, entonces $f$ es convexo. Utilice la prueba por contradicción.

Considera, $I = (a, b)$ con $a < x < b$ .

Si $f(x)$ es convexo entonces,

$$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} < \frac{f(b) - f(a)}{b-a}, \space \forall x$$

Supongamos,

$$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} > \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \space \mathrm{for \space some} \space x$$

De MVT< $\exists x_1$ :

$$\exists x_1 \in (a, b) \implies f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

Tenemos la desigualdad (a partir de los supuestos) ,

$$f'(x) > f'(x_1)$$

Si $x_1 > x$ entonces la contradicción para $f'$ está aumentando.

Si $x_1 < x$ <---- ¿No se me ocurre una contradicción?

Answer 1

En primer lugar, quiero señalar que su definición de convexidad corresponde a la convexidad estricta. Por lo tanto, tendré que asumir que $f'$ es estrictamente creciente.

Veamos primero la condición de convexidad y reformulemosla un poco. Así, para $a<x<b$ la condición de convexidad da $$ \begin{align} & & \frac{f(x)-f(a)}{x-a} &< \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ \Leftrightarrow & & (f(x)-f(a))(b-a) &< (f(b)-f(a))(x-a) \\ \Leftrightarrow & & (f(x)-f(a))(b-a) + (f(x)-f(a))(a-x) &< ((f(b)-f(a))(x-a) + (f(x)-f(a))(a-x) \\ \Leftrightarrow & & (f(x)-f(a))(b-x) &< ((f(b)-f(a))(x-a) + (f(a)-f(x))(x-a) \\ \Leftrightarrow & & (f(x)-f(a))(b-x) &< ((f(b)-f(x))(x-a) \\ \Leftrightarrow & & \frac{f(x)-f(a)}{x-a} &< \frac{f(b)-f(x)}{b-x}. \end{align} $$

Supongamos ahora que $f$ est no convexo. Entonces existe $a<x<b$ tal que $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ o, como acabamos de calcular, de forma equivalente $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}. $$ Por el teorema del valor medio obtenemos $\xi_1 \in (a,x)$ y $\xi_2 \in (x,b)$ con $$ \begin{align} f'(\xi_1) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} && \text{and} && f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(x)}{b-x}. \end{align} $$ Si combinamos esto con la desigualdad anterior tenemos $\xi_1 < \xi_2$ con $$ f'(\xi_1) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq \frac{f(b)-f(x)}{b-x} = f'(\xi_2). $$ Pero $f'(\xi_1) \geq f'(\xi_2)$ para $\xi_1 < \xi_2$ es una contradicción con $f'$ estrictamente creciente. Por lo tanto, la contradicción produce que $f$ debe ser convexo.