Yo estaba observando algunos buenos ejemplos de las igualdades que contienen los números de $1,2,3$ como $\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3=\pi$$\log 1+\log 2+ \log 3=\log (1+2+3)$. Me enteré de esto solo sucede porque $1+2+3=1*2*3=6$.
Yo quería encontrar otros ejemplos en pequeñas cantidades, pero yo no. ¿Cómo podemos encontrar todas las soluciones de $a+b+c=abc$ en números naturales?La pregunta parecía fácil, pero parece difícil de encontrar. Yo preferiría un modo elemental para encontrarlos!
Lo que yo hice: sabemos que si $a+b+c=abc$, $a|a+b+c$ por lo $a|b+c$. Del mismo modo, $b|a+c$$c|a+b$.
Aparte de eso, si multiplicamos ambos lados por $b$, obtenemos $b^2+1=(bc-1)(ab-1)$.
Si además tenemos en dividir ambos lados por $abc$, obtenemos $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}=1$.
No sé cómo ir más allá de usar alguno de estos, pero creo que son un buen comienzo. Agradecería cualquier ayuda.
Respuestas
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Sin pérdida de generalidad $a \leq b \leq c$. A continuación, $a+b+c \leq 3c$ y por lo tanto
$$abc=a+b+c \leq 3c$$
Por lo tanto, cualquiera de las $c =0$, en cuyo caso $a=b=c=0$, o
$$ab \leq 3 \,.$$
Esto lleva a que sólo cuatro posibilidades para comprobar: $a=0$ o $(a,b)=(1,1)$ o $(a,b)=(1,2)$ o $(a,b)=(1,3)$.
Si $a=0$ a continuación, se requieren $b+c=0$ y, por tanto,$b=c=0$.
Tenga en cuenta que puede asumir la $a\leq b \leq c$. Si $a, b, c \geq 2$$abc \geq 4c > c + b + a$. Por lo tanto, al menos uno de $a,b,c$ es igual a $1$.
Wlog asumen $a=1$, y a buscar soluciones a $b+c+1 = bc$. Si $b,c\geq 3$$bc \geq 3c > b + c + 1$, por lo tanto al menos uno de $b,c$ es de menos de $3$
Wlog asumen $b=2$, y a buscar soluciones a $c+3 = 2c$, lo que implica $c=3$.
Así que las únicas soluciones son $(0,0,0)$ $(1,2,3)$ y sus permutaciones.
