$z=0$ no es un máximo local de $|p(z)|$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $z=0$ no es un máximo local de $|p(z)|$ donde $p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n$ si $a_i \neq 0$ para algunos $i>0$ .

Mi intento: Queremos encontrar $z$ en algunos $\epsilon$ de tal manera que $|p(z)| > |a_0|$ . Pero, ¿cómo se construye uno?

Answer 1

Sugerencia utilizar el principio del módulo máximo

Answer 2

$p(z) = \displaystyle \sum_0^n a_i z^i; \tag 0$

En primer lugar, podemos asumir con seguridad

$a_0 \ne 0; \tag 1$

ya que si

$a_0 = 0, \tag 2$

entonces, ya que $a_i \ne 0$ para algunos $i$ , $1 \le i \le n$ el polinomio

$q(z) = \displaystyle \sum_1^n a_i z^i \tag 3$

satisface claramente

$\vert p(0) \vert = \vert q(0) \vert = 0, \tag 4$

y toma valores distintos de cero arbitrariamente cerca del punto $z = 0$ (que de hecho se deduce del Teorema Fundamental del Álgebra, ya que $q(z) = 0$ por sólo un finito número de $z \in \Bbb C$ ). Así, en cualquier vecindad de $0$ podemos encontrar $z_0$ con

$\vert q(z_0) \vert > 0, \tag 5$

así que $0$ no puede ser un máximo local de

$p(z) = q(z) \; (a_0 = 0). \tag 6$

De hecho, podemos dar un paso o dos más en una dirección atractiva: dejemos que $k$ sea el menor índice para el que $a_k \ne 0$ con $a_0 = 0$ , $k \ge 1$ . Entonces podemos escribir

$q(z) = z^k \displaystyle \sum_{i = k}^n a_i z^{i - k}, \tag 7$

de donde

$\vert q(z) \vert = \vert z \vert^k \left \vert \displaystyle \sum_k^n a_i z^{i -k} \right \vert = \vert z \vert^k \left \vert a_k + \displaystyle \sum_{k + 1}^n a_i z^{i -k} \right \vert \ge \vert z \vert^k \left \vert \vert a_k \vert - \left \vert \displaystyle \sum_{k + 1}^n a_i z^{i -k} \right \vert \right \vert; \tag 8$

tomando $z$ en un disco suficientemente pequeño $D$ centrado en $0$ podemos asegurar que

$\left \vert \displaystyle \sum_{k + 1}^n a_i z^{i -k} \right \vert < \epsilon \tag 9$

para cualquier $\epsilon > 0$ por la continuidad de $\sum_{k + 1}^n a_i z^{i -k}$ en particular, con $\epsilon < \vert a_k \vert$ encontramos

$\vert q(z) \vert \ge \vert \vert a_k \vert - \epsilon \vert \vert z \vert^k > \vert q(0) \vert = 0 \; \text{when} \; z \in D \setminus \{0\}, \tag{10}$

demostrando con mayor contundencia que $0$ no es un máximo local de $\vert q(z) \vert$ .

Volvemos a retomar el caso (1); podemos entonces escribir $a_0$ como

$a_0 = \vert a_0 \vert e^{i\theta}, \; \theta = \arg(a_0); \tag{11}$

observamos que

$\vert e^{-i\theta} p(z) \vert = \vert e^{-i\theta} \vert \vert p(z) \vert = \vert p(z) \vert, \tag{12}$

y que el término constante de $e^{-i\theta}p(z)$ est

$e^{-i\theta}a_0 = e^{-i\theta}e^{i\theta} \vert a_0 \vert = \vert a_0 \vert >0, \tag{13}$

es decir, $e^{-i\theta}a_0$ es un real positivo. Ahora establecemos

$q(z) = e^{-i\theta} p(z); \tag{14}$

de (12),

$\vert q(z) \vert = \vert p(z) \vert, \tag{15}$

por lo que si mostramos $0$ no es un máximo local de $\vert q(z) \vert$ , también hemos demostrado lo mismo de $\vert p(z) \vert$ .

Consideramos el polinomio $q(z) - \vert a_0 \vert$ el término constante de $q(z)$ est $\vert a_0 \vert$ Así que

$\vert q(0) - \vert a_0 \vert \vert = 0; \tag{16}$

desde $q(z) - \vert a_0 \vert$ es entero, al ser un polinomio, podemos invocar el teorema del mapa abierto una afirmación que, para cada disco abierto $D(0, \delta)$ centrado en $0$ el conjunto

$q(D(0, \delta)) - \vert a_0 \vert = (q - \vert a_0 \vert)(D(0, \delta)) \tag{17}$

contiene, para algunos $\epsilon > 0$ el disco $D(0, \epsilon)$ :

$D(0, \epsilon) \subset (q - \vert a_0 \vert)(D(0, \delta)); \tag{18}$

por lo tanto, para cualquier $0 < r \in D(0, \epsilon)$ podemos encontrar

$z_r \in D(0, \delta) \tag{19}$

tal que

$q(z_r) - \vert a_0 \vert = r, \tag{20}$

o

$\vert p(z_r) \vert = \vert q(z_r) \vert = q(z_r) = \vert a_0 \vert + r > \vert a_0 \vert = \vert q(0) \vert = \vert p(0) \vert, \tag{21}$

que muestra que $0$ no puede ser un máximo local para $p(z)$ .

Algunas observaciones: primero, el dispositivo de multiplicación $p(z)$ por $e^{-i\theta}$ para obtener $q(z)$ con término constante real positivo no es realmente esencial para nuestro argumento; podríamos igualmente dejar $p(z)$ con su término constante sin modificar y luego buscar $z_r$ con $p(z_r) = r a_0$ con $r > 0$ para que

$p(z_r) - a_0 = ra_0 \tag{22}$

y (21) dice

$\vert p(z_r) \vert = \vert a_0 + a_0 r \vert = (1 + r)\vert a_0 \vert > \vert a_0 \vert = \vert p(0) \vert, \tag{23}$

y que, una vez más, establece el resultado exigido. En lo anterior, he cambiado $a_0$ en un real positivo porque me resulta un poco más fácil conceptualizar "mayor que" en el contexto de los reales positivos que de los números complejos con fase (potencialmente) arbitraria, pero esa maniobra no es realmente esencial, como se ha visto en estos Observaciones . Quizá sea más importante la observación de que este resultado puede generalizarse significativamente al caso $p(z) \in H(\Omega)$ donde $\Omega \subset \Bbb C$ está abierto; entonces no $z_0 \in \Omega$ es un máximo local de $\vert p(z) \vert$ Esto se puede demostrar con un argumento similar al que se ha dado anteriormente, a saber podemos desarrollar localmente $p(z)$ como una serie de potencias en $z - z_0$ :

$p(z) = \displaystyle \sum_0^\infty a_i (z - z_0)^i, \tag{24}$

de donde

$p(z) - a_0 = \displaystyle \sum_1^\infty a_i (z - z_0)^i; \tag{25}$

desde $\vert p(z_0) - a_0 \vert = p(z_0) - a_0 = 0$ podemos aplicar de nuevo el teorema del mapa abierto a la función holomorfa $\sum_1^\infty a_i (z - z_0)^i$ y así afirmar la existencia, para un tamaño suficientemente pequeño $r > 0$ de $z_r \in D(z_0, \delta)$ con

$p(z_r) - a_0 = \displaystyle \sum_1^\infty a_i (z_r - z_0)^i = ra_0; \tag{26}$

entonces

$\vert p(z_r) \vert = (1 + r) \vert a_0 \vert > \vert a_0 \vert = \vert p(z_0) \vert, \tag{27}$

y $z_0$ no es un máximo local de $\vert p(z) \vert$ . Sin duda, el lector familiarizado con resultados como el teorema del mapa abierto, el principio del módulo máximo, etc., reconocerá las afirmaciones aquí demostradas como aplicaciones de estas nociones centrales del análisis complejo. Finalmente, escribiendo de manera similar a (7),

$p(z) - a_0 = (z - z_0)^k \displaystyle \sum_{k + 1}^\infty a_i(z - z_0)^{i - k}, \tag{28}$

se deduce que

$\vert p(z) - a_0 \vert \ge \vert z - z_0 \vert^k \vert \vert a_k \vert - \vert \displaystyle \sum_{k + 1}^\infty a_iz^{i - k} \vert \vert \ge \vert z - z_0 \vert^k \vert \vert a_k \vert - \epsilon \vert, \tag{29}$

para $z - z_0$ suficientemente pequeño. Sin embargo, no conozco ninguna forma de utilizar (29) por sí misma para demostrar que $z_0$ no es un máximo local, ya que aunque podamos utilizarlo para inferir la distancia entre $p(z)$ y $a_0$ crece con $\vert z - z_0 \vert$ No obstante, no nos informa sobre la dirección lejos de $a_0$ en el que $p(z)$ por lo que parece que una afirmación como (26), (27) no puede obtenerse sólo a partir de (29), y debemos invocar algo como el teorema del mapa abierto para establecer la existencia de $z_r$ . Fin de las observaciones.

$z=0$ no es un máximo local de $|p(z)|$