Encontrar el valor para calcular el volumen

Question

Dado $D=[{(x;y) \in \mathbb R^2 : 1 \le y \le ax^2 +1, 0\le x \le 2/a}], 0 \lt a$ , dejemos que $W$ sea la región obtenida al girar $D$ alrededor de $Y$ eje.

A) Encuentre el volumen de $W$

B) Encontrar, si es posible, el $a$ valores $\epsilon (0; + \infty)$ para que el volumen de $W$ es un mínimo, y un máximo

C) Encontrar, si es posible, el $a$ valores $\epsilon (1/3; 3)$ para que el volumen de $W$ es un mínimo, y un máximo

Bueno, lo que he hecho hasta ahora es encontrar el radio interior y exterior para calcular el volumen en términos de $Y$ . El radio interior sería $\sqrt{\frac{y-1}{a}}$ y el exterior sería $\frac{4+a}{a}$ que es $a$ evaluado en la parábola. Entonces, el volumen sería

$\int_1^\frac{4+a}{a} (\sqrt{\frac{y-1}{a}})^2 -(\frac{4+a}{a})^2 \,dx$

Y esa es la función que tengo que diferenciar para encontrar sus máximos y mínimos, que, después de diferenciar, es $1/a$ . ¿Está bien lo que estoy haciendo? ¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

El valor más pequeño de $y$ est $1$ y su mayor valor es $f\left(\frac2a\right)=\frac{4+a}a$ . Para cada $y$ en ese intervalo, los posibles valores de $x$ ir de $\sqrt{\frac{y-1}a}$ a $\frac2a$ . Por lo tanto, ese volumen es igual a $$\pi\int_1^{\frac{4+a}a}\left(\frac2a\right)^2-\left(\sqrt{\frac{y-1}a}\right)^2\,\mathrm dy=\pi\left(\frac{8}{a^3}+\frac{4}{a^2}+\frac{1}{2a}\right).$$ Se trata de una función estrictamente decreciente de $a$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?