El cuadrado de una matriz diferencia es una matriz escalar

Question

Dados dos $2\times 2$ matrices $A,B$ , dejemos que $C=AB-BA$ .
Demuestra que $C^2$ es una matriz escalar (es decir $C=\lambda I$ ).

¿Hay alguna forma sencilla de hacerlo? Me parece que me falta un truco de manipulación.

Estoy trabajando en utilizar el hecho de que cualquier matriz es unitariamente similar a alguna matriz con todas las entradas diagonales iguales, pero no he tenido mucha suerte. ¿Tiene alguna idea sobre la dirección que debo tomar esto?

Answer 1

Lo único que realmente importa aquí es que para $2\times2$ matrices, el $(1,1)$ y el elemento $(2,2)$ elemento de $AB-BA$ son iguales y opuestos. Entonces, comprueba esto, y para evitar el álgebra desordenada simplemente escribe $$AB-BA=\pmatrix{p&q\cr r&-p\cr}$$ y cuadrarlo.

Apéndice . He aquí un contraejemplo para $n>2$ , según lo solicitado por @user901823.

Dejemos que $A,B$ sea $n\times n$ matrices: $A$ tiene la primera fila todo $1$ s, de lo contrario $0$ , mientras que $B$ tiene como primera columna todo $1$ s, de lo contrario $0$ . Entonces $$C=AB-BA=\pmatrix{n-1&-1&-1&\cdots\cr -1&-1&-1&\cdots\cr -1&-1&-1&\cdots\cr \vdots&\vdots&\vdots&\ddots\cr}$$ y el $(2,3)$ entrada de $C^2$ est $$\pmatrix{-1&-1&-1&\cdots\cr}\pmatrix{-1\cr-1\cr-1\cr\vdots\cr}=n\ne0\ .$$