Todos los ideales primos de $R/I$ donde $R$ es el anillo polinómico infinito

Question

El problema:

Dejemos que $R = k[x_i]_{i \in \mathbb{N}}$ sea el anillo de polinomios sobre a campo $k$ en infinitas variables. Sea $I = \langle x_1, x_2^2, x_3^3, \ldots \rangle$ sea un ideal de $R$ .

Encuentra:
(a) todos los ideales primos de $R/I$ .

b) Demuestre que $R/I$ no es noeteriano.

Intento: Para b), creo que he encontrado la cadena ascendente infinita $$ \langle x_1 \rangle + I \subset \langle x_1, x_2 \rangle + I \subset \ldots $$ que muestra $R/I$ no es noeteriano.

Por un), no estaba seguro. ¿Cómo se resuelven este tipo de problemas? Estaba pensando que todos los ideales de la forma $$ \langle x_1 \rangle + I, \qquad \langle x_2 \rangle + I, \ldots $$ son seguramente primos. Porque si $$fg \in \langle x_i \rangle + I $$ entonces al menos $f$ o $g$ debe dividirse por $x_i$ Creo.

Se agradece la ayuda.

Answer 1

Cualquier ideal primo del anillo cociente $R/I$ puede verse como un ideal primario de $R$ que contiene $I$ . Sea $\mathfrak p$ sea un ideal primo de este tipo. Como ideal de $R$ debe contener todos los elementos $x_k^k$ para $k\in \mathbb N$ . Porque el ideal $\mathfrak p$ es primo, significa que realmente contiene cada una de las variables $x_k$ .
Por lo tanto, sólo hay un ideal primo en $R/I$ que puede considerarse como el ideal generado por todas las variables de $R$ . Obsérvese que se trata efectivamente de un ideal primo (e incluso maximal) ya que el cociente de $R$ por ello no es otra cosa que $k$ .
Como este ideal primo no está generado finitamente, el anillo cociente $R/I$ no es noetheriano.