Tenga en cuenta que para cualquier $c$ tenemos $\dfrac{d}{dx}\, (F(x)-c) = f(x)$ .
Así pues, escribiríamos
$$E(X) = \int^\infty_{{-\sqrt{3}}/{3} }\, xf(x)dx=\int^\infty_{{-\sqrt{3}}/{3} }\,x\dfrac{d}{dx}(F(x)-c)\,dx$$ para una elección conveniente de $c$ .
Se podría pensar que podemos elegir cualquier $c$ que nos gusta para la integración por partes (por ejemplo $c=0$ es más sencillo, así que ¿por qué no elegirlo?) ... pero no podemos elegir cualquier $c$ nos gusta. ¿Por qué?
Por la misma parte que te has saltado con un casual "primer término evaluado en los límites". Para que los lados izquierdo y derecho de la integración por partes mantengan realmente una igualdad (es decir, para que el paso sea válido), los componentes deben converger en el límite. Tenga en cuenta que, de lo contrario, podría estar escribiendo una cantidad finita es igual a la diferencia de dos cosas que cada uno va a infinito, y lo siguiente que ha demostrado que 1=0.
Ahora vamos a analizarlo detenidamente. El término debe escribirse así:
$$\int^\infty_{{-\sqrt{3}}/{3} } x\dfrac{d}{dx}(F(x)-c)\,dx= x(F(x)-c)\Big{\vert}^\infty_{{-\sqrt{3}}/{3}}-\int^\infty_{{-\sqrt{3}}/{3} }(\dfrac{d}{dx} x)(F(x)-c)dx$$
Necesitamos que ambas partes converjan para que esto funcione.
Ahora bien, ¿qué significa realmente ese límite superior del infinito en la integral? $\int_a^\infty$ es sólo una abreviatura de $\lim_{b\to\infty}\int_a^b$ .
Así que seamos explícitos con ese primer término:
$x(F(x)-c)\Big{\vert}^\infty_{{-\sqrt{3}}/{3}}\,$ es realmente $\:\lim_{b\to\infty} x(F(x)-c)\Big{\vert}^b_{{-\sqrt{3}}/{3}}$
En el extremo inferior todo está bien. Ahora, en el extremo superior tienes un producto de dos términos allí. $b$ y $F(b)-c$ . Para un determinado $c$ el segundo término está acotado ya que dejamos que $b\to\infty$ (no superará $1-c$ ), pero el primer término es $b$ y tenemos $b$ aumentando sin límite aquí. El producto no puede ser finito en el límite si el segundo término es distinto de cero en el límite (puede que tampoco sea finito entonces pero eso es fácil de comprobar $^\dagger$ ).
Así que el único valor posible para $c$ es $1$ -- cualquier otra cosa nos dejará claramente con un paso inválido en nuestra integración por partes.
[Si examinamos el segundo término del lado derecho del paso de integración por partes nos encontramos con un problema similar -- se necesita $c=1$ para que sea finito $^\ddagger$ ]
[Si hubiera intentado utilizar cualquier otro valor para $c$ antes de publicar como $c=0$ digamos es de esperar que te hayas dado cuenta de cuál era el problema. Tengo curiosidad por saber por qué no intentaste ver qué pasaba].
$\dagger$ Te dejo que compruebes por ti mismo que el límite superior converge a un valor finito.
$\ddagger$ y de nuevo, debe comprobar que funciona para $c=1$ .
