¿Qué importancia tienen las bases ortogonales?

Question

Estoy empezando con las series de Fourier, y me acaban de presentar la idea de que podemos definir un producto interno $\int_0^1 f(x)g(x)dx$ como una generalización del producto punto. Y que podemos tener conjuntos de funciones que son ortogonales (lo que estoy aprendiendo es una generalización abstracta no geométrica de la idea de vectores geométricos (ortogonales) de ángulo recto. p. ej. $sin(kx), k: 1,2,3,...$ son ortogonales entre sí.

Ahora mi pregunta es: ¿qué importancia tiene todo esto? ¿Por qué nos importa si las funciones son ortogonales entre sí en este sentido abstracto ? En geometría y con las bases en, por ejemplo, los espacios vectoriales euclidianos, nos importa porque la ortogonalidad tiene un claro significado geométrico con claras implicaciones. Pero ¿cuál es el significado y cuáles son las implicaciones de tener un conjunto de funciones ortogonales o una base ortogonal de un espacio vectorial no geométrico?

Answer 1

No existe un "espacio vectorial no geométrico". Al contrario: La intuición que se tiene del espacio euclidiano ${\mathbb R}^3$ modelar tu entorno cotidiano debería ayudarte a comprender mejor lo que ocurre en un espacio euclidiano de dimensiones infinitas.

La propiedad esencial de una base ortonormal $(e_\iota)_{\iota\in I}$ es que es "autodual". Esto significa que las coordenadas $\xi_\iota$ de un vector determinado $x$ con respecto a dicha base vienen dados simplemente por los productos escalares $x\cdot e_\iota$ : $$\xi_\iota=x\cdot e_\iota\qquad(\iota\in I)\ .\tag{1}$$ Si la base $(e_\iota)_{\iota\in I}$ (finito o infinito) no es ortonormal entonces hay que determinar una "base dual" $(e_\iota^*)_{\iota\in I}$ de antemano en un proceso computacional complicado (inversión de alguna matriz), y en lugar de $(1)$ entonces tienes $$\xi_\iota=x\cdot e_\iota^*\qquad(\iota\in I)\ .$$