Dado el exponencial de una matriz,
$e^{At}$ ¿Cuál es la mejor manera de calcular A? Estoy pensando en matrices de 3x3 con valores complejos.
Respuesta
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Si la matriz $A$ es la solución de la ecuación $$e^{tA}=A_2\,e^{2t}+A_1\,e^t$$ y dado que tanto la parte izquierda como la derecha admiten una derivada relativa a $t$ debemos tener : $$A\,e^{tA}=2\,A_2\,e^{2t}+A_1\,e^t$$ y en el límite $\,t\to 0\;$ su solución sólo puede ser $\,A=2\,A_2+A_1$ .
Dado que puede parecer bastante sorprendente que $\;e^{\large{t\,(2\,A_2+A_1)}}=A_2\,e^{2t}+A_1\,e^{t}\;$ (¡como lo fue para mí!) Tenía que descubrir por qué esto era cierto.
Observe que sus matrices $\,A_2:=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & -2 \end{array}\right) $ y $A_1:=\left( \begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -3 & 3 \end{array}\right) \;$ son bastante especiales ya que la verificación de $\,A_1+A_2=1,\ \,A_1 A_2=A_2 A_1=0\;$ y $\,A_1^n=A_1$ y $\,A_2^n=A_2\,$ para cualquier número entero positivo $n$ .
De ello se deduce que $\;e^{t\,A_i}=1+A_i (e^{t}-1)\;$ y para cualquier valor real $x$ y $y$ : $$e^{\large{\,x\,A_2+y\,A_1}}=1+A_2 (e^{x}-1)+A_1 (e^{y}-1)=A_2e^x+A_1 e^y$$
