Los subgrupos permutables son subnormales

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. Un subgrupo $H \le G$ se llama permutable si para cada uno de los otros subgrupos $U \le G$ tenemos $UH = HU$ . Demuestre que si $H \le G$ es permutable, entonces $H$ debe ser subnormal.

¿Alguien conoce una prueba elemental de este hecho?

Answer 1

Esto debería ser completamente elemental. Obtuve la idea de esta respuesta buscando en el libro "Products of Finite Groups" ( enlace a la página del editor ), pg. 12, Lemma 1.2.9. Esta puede ser una buena referencia para obtener más material sobre subgrupos permutables.

Primero, dos pequeños resultados.

(1) Si $H$ es un subgrupo de $G$ y $G = H^g H$ entonces $H = G$ .

Prueba: Ahora $g^{-1} \in H^g H = g^{-1}HgH$ Así que $1 \in HgH$ y por lo tanto $g \in H$ .

(2) Supongamos que $H \leq G$ es permutable. Si $H \leq M$ para un subgrupo máximo $M$ entonces $H \leq M^g$ para todos $g \in G$ .

Prueba: Si $H \not\leq M^g$ entonces $HM^g = M^gH = G$ desde $H$ es permutable y $M^g$ es máxima. Pero esto implica $G = M^gM$ , lo cual es una contradicción por (1).

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Ahora para su resultado, proceda por inducción en el orden de $G$ . Supongamos que $H$ es un subgrupo permutable propio de $G$ . Ahora $H$ está contenida en un subgrupo máximo $M$ y por (2) el subgrupo $H$ está contenido en el subgrupo normal propio $\cap M^g$ . Aplicar la inducción a $\cap M^g$ y hemos terminado.

Answer 2

Supongamos lo contrario y dejemos que $G$ ser un contraejemplo mínimo,

Dejemos que $N=H^G$ , si $N$ es adecuado en $G $ por nuestra asunción $H$ es subnormal en $N$ y $N$ es normal en $G$ hemos terminado.

Por lo tanto, suponga $N=G$ ,

Dejemos que $M$ sea un subgrupo máximo que contenga $H$ .

Desde entonces, $H^G=G$ existe un $M^x$ tal que $H$ no está contenida en $M^x$ .

Tenemos $HM^x=G\implies MM^x=G$ que es imposible.

En la respuesta de Mikko parece estar mejor explicado.