Los conmutadores de los campos vectoriales relacionados están relacionados

Question

Dejemos que $X_1, X_2$ sean campos vectoriales sobre una variedad suave $M$ e igualmente $Y_1, Y_2$ campos vectoriales sobre una variedad suave $N$ . Además, dejemos que $X_1$ y $Y_1$ así como $X_2$ y $Y_2$ sea $\Phi$ -para algún morfismo $\Phi: T M \to T N$ (es decir, tenemos $\Phi \circ Y_i = X_i \circ \phi$ donde $\phi: M \to N$ es el mapa de proyección de $\Phi$ ). Ahora quiero demostrar que el conmutador/brazo de Lie $[X_1, Y_1]$ también es $\Phi$ -relacionado con $[X_2, Y_2]$ .

Ahora he intentado seguir la definición del conmutador y escribir

$$[X_1, Y_1] \circ \phi = X_1 Y_1 \circ \phi - Y_1 X_1 \circ \phi \\ = X_1 \circ (\Phi \circ Y_2) - Y_1 \circ (\Phi \circ X_2) \\$$

Pero no estoy muy seguro de cómo pasar de ahí ya que no creo que pueda intercambiar $X_i \circ \Phi$ para $\Phi \circ X_i$ ? Tendría que demostrar que esta expresión es igual a

$$\Phi \circ [X_2, Y_2] = \Phi(X_2 Y_2 - Y_2 X_2)$$

pero abordándolo desde este lado, de nuevo no sé cómo continuar desde aquí, ya que no creo que pueda simplemente "tirar hacia adentro" $\Phi$ en los sumandos individuales? ¿Hay algo sobre el conmutador que estoy malinterpretando u olvidando? Parece algo fácil de demostrar, pero estoy un poco perdido.

Answer 1

El enunciado correcto del problema es que si $\phi : M \rightarrow N$ son un mapa suave y $X_i \in \mathfrak{X}(M)$ y $Y_i \in \mathfrak{X}(N)$ son $\phi-$ relacionados, entonces el conmutador $[X_1,X_2]$ también es $\phi-$ relacionado con $[Y_1,Y_2]$ . Para demostrarlo, dejemos que $f \in C^{\infty}(N)$ sea cualquier función suave sobre $N$ por hipótesis verifica que $$ X_1X_2 (f \circ \phi) = \dots = (Y_1Y_2 f) \circ \phi $$ y de manera similar $X_2X_1 (f \circ \phi) = \dots = (Y_2Y_1 f) \circ \phi$ . Y luego usando la definición de corchete de Lie para mostrar $$ [X_1,X_2](f \circ \phi) = ([Y_1,Y_2]f) \circ \phi. $$