Prueba de que esta función no es idéntica a cero

Question

Dejemos que $\mathbb{D}$ sea el disco unitario abierto. Definir $u : \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C}$ por $u(z) = Im (\frac{1-z}{1+z})^2$ demostrar que $u(z)$ no es idéntico a cero. Mi intento: si $u(z)$ fueran idénticos a cero, entonces $\frac{1-z}{1+z}$ sería realmente valorado. Pero $\frac{1-z}{1+z}$ es una transformación lineal fraccionaria y por tanto tiene una inversa y tanto ella como su inversa son holomorfas. Esto implica que tanto ella como su inversa son continuas, lo que significaría que el disco unitario abierto es homeomorfo a algún subconjunto de la recta real, lo que es imposible. ¿Es esto correcto?

Answer 1

$$U(x,y)=\left(\frac{z-1}{z+1} \right)^2,$$ tomar $z=x+iy, x,y \ne 0$ entonces $$U(x,y)=\frac{(x-1)^2-y^2+2i(x-1)y}{(x+1)^2-y^2+2i(x+1)y}$$ Por último, su parte imaginaria (digamos $u(x,y)$ ) nunca puede ser cero ya que $y \ne 0$

Answer 2

Usted dijo

si $u(z)$ fueran idénticos a cero, entonces $\frac{1-z}{1+z}$ sería realmente valorado

lo cual no es del todo correcto: Si $u(z)$ fueran idénticos a cero, entonces $\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^2$ tendría un valor real, lo que significa que $\frac{1-z}{1+z}$ sólo toma valores puramente reales o puramente imaginarios.

Pero se puede argumentar lo siguiente: Una función holomorfa de valor real es necesariamente constante. Pero $ \left(\frac{1-z}{1+z}\right)^2$ no es constante en el disco unitario.