Pregunta:
$$z=\frac{a+3i}{2+ai}$$
Demuestre que sólo hay un valor de $a$ para lo cual $\operatorname{arg} z= \frac{\pi}{4}$ y encontrar este valor.
Mi intento: $$\frac{a+3i}{2+ai}\cdot\frac{2-ai}{2-ai}$$ $$=\frac {5a+(6-a^2)i}{4+a^2}$$ $$=\frac {5a}{4+a^2}+\frac {6-a^2}{4+a^2}i$$ $$\tan(\pi/4)=\frac {\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$ $$\tan(\pi/4)=\frac{\frac{6-a^2}{4+a^2}}{\frac{5a}{4+a^2}}$$
Mis preguntas:
1) en el último punto de mi trabajo $$\tan(\pi/4)=\frac{\frac{6-a^2}{4+a^2}}{\frac{5a}{4+a^2}}$$ el respuesta del libro lo muestra al revés, así: $$\tan(\pi/4)=\frac{\frac{5a}{4+a^2}}{\frac{6-a^2}{4+a^2}}$$ ¿Por qué? Desde que uso $\tan(\theta)=\mathrm{opp}/\mathrm{adj}$ , opuesto sería el valor y o imaginario y adyacente el valor x y real.
2) En el libro no se explica por qué multiplicamos por el conjugado complejo y me gustaría saber por qué
