¿Cómo puedo encontrar este límite? $\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{4^n}$

Question

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{4^n}$$ La respuesta dice que el cero es el límite, no entiendo cómo es esto, he probado la regla de H'opitals, no me ha funcionado, ¿alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo resolver este límite?

Answer 1

Por la regla de l'Hospital, tienes $$ \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{4^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}{4^n\cdot\log 4}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{4^n(\log 4)^2}=\frac{2}{(\log 4)^2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4^n}=0. $$

Answer 2

Observe que $$ (n+1)^2\le 2^{n+2} $$ Para cada número natural $n$ Entonces, observe que $$ 0\le \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{4^n}\le\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+2}}{4^n}=0 $$

Answer 3

Pista: si se denota que la secuencia en el límite es $a_n$ ¿Cómo es que $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ ¿comportarse? ¿Qué te dice sobre el comportamiento de la secuencia?

Answer 4

$4^n$ aumenta mucho más rápido que $(n+1)^2$ y cuando $n$ tiende a infinito, el denominador será muy grande comparado con el numerador. Por lo tanto, el límite es $0$ .