la confusión acerca de la permutación

Question

$7$ blanco bolas iguales y $3$ negro bolas iguales están colocadas al azar en una fila. La probabilidad de que no hay dos bolas negras están juntos ?

Me estoy poniendo como $ \frac{1}{3}$, mientras que la respuesta en mi libro es $\frac{7}{15}$. Total de maneras en que se $\frac{10!}{7!.3!}=120$ ahora he considerado tres bolas como uno de lo $\frac{(1+7)!}{7!}=8$,luego de dos balones consecutivos que es$\frac{(1+8)!}{7!}=72$, por lo que la probabilidad es $\frac{120-8-72}{120}=1/3$

Lo que me estoy perdiendo? Cualquier ayuda.

Answer 1

Número ilimitado de permutaciones $=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=120$

El número de permutaciones en las que al menos 2 bolas negras están juntos $=\frac{9!}{7!}=72$

Aquí hemos considerado $2$ bolas negras a ser una sola unidad, ya que ellos siempre están juntos y, a continuación, dispuestos de la $9$ bolas.

Ahora restamos los casos donde el $3$ bolas negras están juntos, es decir, $\frac{8!}{7!}=8$ en el mismo procedimiento anterior ya hemos calculado el $3$ bolas de estar juntos en la $72$ de los casos anteriores.

Así que la probabilidad de $=1-\large\frac{72-8}{120}=\color{blue}{\frac{7}{15}}$

A ver si esto ayuda..

Answer 2

Método 1: División en dos de los casos

no termina en $\text{B}$: $$\underbrace{\vphantom{}\text{BW}\mid\text{BW}\mid\text{BW}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\vphantom{}}_{\large\binom{7}{3}}$$

terminando en $\text{B}$: $$\underbrace{\vphantom{}\text{BW}\mid\text{BW}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\vphantom{}}_{\large\binom{7}{2}}\ (\text{B})$$

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Método 2: Agregar al lanzar $\bf{W}$ a la derecha $$\underbrace{\vphantom{}\text{BW}\mid\text{BW}\mid\text{BW}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\vphantom{}}_{\large\binom{8}{3}}$$

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No hay restricciones

$$\underbrace{\vphantom{}\text{B}\mid\text{B}\mid\text{B}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\mid\text{W}\vphantom{}}_{\large\binom{10}{3}}$$

Por lo tanto, la probabilidad es $$\frac{\binom{7}{3}+\binom{7}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{\binom{8}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{7}{15}$$

Answer 3

De otra manera

Considere una cadena de $7$ bolas blancas. Hay $8$ lugares entre las bolas (incluidos los extremos) donde el negro bolas puede ser insertado w/o de estar al lado, en contra de $\binom{10}3$ sin restricciones arreglos

$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge \circ$$\uparrow$

por lo tanto $Pr = \dfrac{\binom83}{\binom{10}3} = \dfrac7{15}$

Answer 4

El uso de la inclusión/exclusión de principio a fin de contar el número de permutaciones:

• Incluir el número total de permutaciones: $10!$
• Excluir el número de permutaciones con al menos $\color\red2$ bolas negras juntos: $\binom{3}{\color\red2}\cdot\color\red2!\cdot9!$
• Incluir el número de permutaciones con al menos $\color\red3$ bolas negras juntos: $\binom{3}{\color\red3}\cdot\color\red3!\cdot8!$

Luego, para calcular la probabilidad, se divide por el número total de permutaciones:

$$\frac{10!-\binom{3}{2}\cdot2!\cdot9!+\binom{3}{3}\cdot3!\cdot8!}{10!}=\frac{7}{15}$$

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Por favor, tenga en cuenta que para calcular la probabilidad, estamos considerando las bolas distintas en lugar de idéntica (de ahí el uso del término permutaciones).